Question

（本題12分）如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝8，CD＝10．

（1）求梯形ABCD的面積；

（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2個(gè)單位/s的速度沿B→A→D→C方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2個(gè)單位/s的速度沿C→D→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；過點(diǎn)Q作QE⊥BC于點(diǎn)E．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問：

①當(dāng)點(diǎn)P在B→A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長(zhǎng)平分？若存在，請(qǐng)求出t的值，并判斷此時(shí)PQ是否平分梯形ABCD的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

②在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

（1）40；（2）①不存在；②或或.

【解析】

試題分析：（1）求面積要先求梯形的高，在直角三角形中用勾股定理進(jìn)行求解，得出底邊后即可求出梯形的面積．

（2）①PQ平分梯形的周長(zhǎng)，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的長(zhǎng)，可以用t來表示出AP，BP，CQ，QD的長(zhǎng)，那么可根據(jù)上面的等量關(guān)系求出t的值，再求出梯形面積即可得出答案；

②分三種情況進(jìn)行討論：一、當(dāng)P在AB上時(shí)，即0≤t≤4，等腰△PDQ以DQ為腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通過構(gòu)建直角三角形來表示出DP，PQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)得出的等量關(guān)系來求t的值．

二、當(dāng)P在AD上時(shí)，即4＜t＜5，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10﹣2t，因此DP，DQ恒相等．

三、當(dāng)P在CD上時(shí)，即5＜t≤6．綜合三種情況可得出等腰三角形以DQ為腰時(shí)，t的取值．

試題解析：（1）過D作DH∥AB交BC于H點(diǎn)，

∵AD∥BH，DH∥AB，∴四邊形ABHD是平行四邊形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．

∵CD=10，∴HC=，∴BC=BH+CH=8，

∴SABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．

（2）①∵BP=CQ=2t，∴AP=8﹣2t，DQ=10﹣2t，

∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，∴8﹣2t+2+10﹣2t=2t+8+2t．∴．

∴當(dāng)秒時(shí)，PQ將梯形ABCD周長(zhǎng)平分．

QC=3，PB=3，

∵QE∥DH，∴，∴，

∴QE=2.4，EC=1.8，BE=8﹣1.8=6.2，

四邊形PBCQ面積=S梯形QEBP+S△QEC=（PB+QE）×BE+QE×EC，

=，

所以PQ不平分梯形ABCD的面積；

②第一種情況：當(dāng)0≤t≤4時(shí)．過Q點(diǎn)作QH⊥AB，垂足為H．

∵AP=8﹣2t，AD=2，∴PD=．

∵CE=，QE=，∴QH=BE=，BH=QE=．∴PH=．

∴PQ=，DQ=．

Ⅰ：DQ=DP， =，解得秒．

Ⅱ：DQ=PQ，=，化簡(jiǎn)得：，

解得：，（不合題意舍去），

∴，

∴第二種情況：4≤t＜5時(shí)．DP=DQ=10﹣2t．

∴當(dāng)4≤t＜5時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．

第三種情況：5＜t≤6時(shí)．DP=DQ=2t﹣10．

∴當(dāng)5＜t≤6時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．

綜上所述，或4≤t＜5或5＜t≤6時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ成立．

考點(diǎn)：1．直角梯形；2．等腰直角三角形；3．動(dòng)點(diǎn)型．