Question

如圖，在平面直角坐標系中，有一張矩形紙片OABC，已知O（0,0），A（4，0），C（0，3），點P是OA邊上的動點（與點O、A不重合），現將PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC邊上選取適當的點E，將POE沿PE翻折，得到PFE，并使直線PD、PF重合。

（1）設P（x，0），E（0，y），求y關于x的函數關系式及自變量x的取值范圍，并求出y的最大值；

（2）如圖，若翻折后點D落在BC邊上，求過點P、B、E的拋物線的函數關系式；

（3）在（2）的情況下，在該拋物線上是否存在點Q，使PEQ是以PE為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點Q的坐標。   

                                  

                                                ②

Answer 1

解

①                                                                                                         ②

(1)△PAB≌△PDB, △POE≌△PFE

∴∠APB=∠DPB  ∠OPE=∠FPE

∵∠APB+∠DPB+∠OPE+∠FPE=180⁰

∴∠APB+∠OPE=90⁰

∵∠OPE+∠OEP=90⁰

∴∠APB=∠0EP

∵∠EOP=∠PAB=90⁰

∴△POE∽△BAP

∴

∵A(4,0),C(0,3),E(0,y),P(x,0)

 ∴即  

∵

而  ∴x=2時，   

(2)四邊形DPAB、EOPF都為正方形

∴AP=AB=3,OE=OP=4-3=1

∴E(0,1)  P(1,0)

∵B(4,3)

∴過點P、B、E的拋物線的函數關系式為：

      

存在，Q（4，3）或（5，6）

由（2）知∠EPB=90⁰

即點Q與點B重合時滿足條件

直線PB為y=x-1,與y軸交于點（0，-1）

∴將直線PB向上平移2個單位則過點E（0，1）

∴該直線為y=x+1

由   解之得

∴Q（5，6）

∴該拋物線上存在兩點Q（4，3）或（5，6）滿足條件