Question

9．小明發現：作兩條互相垂直的直線MN、PQ，垂足為O，作∠PON的角平分線OE，點A、B分別是OE、PQ上任意一點，再作∠ABP的平分線BD，BD的反向延長線交∠OAB的平分線于點C，∠C的大小是不隨A、B的變化而變化的，是一個定值，∠C為22.5°．

Answer 1

分析 先求出∠AOB=45°，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和表示出∠ABD和∠ABP，然后根據BD是∠ABP的平分線，列式整理即可得解．

解答 解：∵MN⊥PQ，OE平分∠PON，
∴∠AOB=45°，
∵BD平分∠ABP，AC平分∠OAB，
∴∠ABP=2∠ABD，∠OAB=2∠BAC，
在△ABC中，∠ABD=∠C+BAC，
在△OAB中，∠ABP=∠AOB+∠OAB，
∴∠AOB+∠OAB=2（∠C+BAC），
整理得，∠AOB=2∠C，
∴∠C=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
故答案為：22.5．

點評 本題主要考查了三角形的內角和定理，三角形的角平分線的定義，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記性質并理清圖中角度之間的關系是解題的關鍵．