Question

4．在數學活動課上，老師提出了一個問題，希望同學們進行探究．
在平面直角坐標系中，若一次函數y=kx+6的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，與反比例函數y=$\frac{6}{x}$的圖象交于C、D兩點，則AD和BC有怎樣的數量關系？
同學們通過合作討論，逐漸完成了對問題的探究．
小勇說：我們可以從特殊入手，取D進行研究（如圖①），此時我發現AD=BC．
小攀說：在圖①中，分別從點C、D兩點向兩條坐標軸作垂線，根據所學知識可以知道有兩個圖形的面積是相等的，并能求出確定的值，而且在圖②中，此時S_矩形FCHO=S_矩形GDIO，這一結論仍然成立，即四邊形OHCF的面積=四邊形OIDG的面積，此面積的值為6．
小高說：我還發現，在圖①或圖②中連接某兩個已知點，得到的線段與AD和BC都相等，這條線段是GH．

（1）請完成以上填空；
（2）請結合以上三位同學的討論，對圖②所示的情況下，證明AD=BC；
小峰突然提出一個問題：通過剛才的證明，我們可以知道當直線與雙曲線的兩個交點都在第一象限時，AD=BC總是成立的，但我發現當k的取值不同時，這兩個交點有可能在不同象限，結論還成立嗎？
（3）請你結合小峰提出的問題，在圖③中畫出示意圖，并判斷結論是否成立．若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據題目的敘述即可直接解答；
（2）連接GH，GC，DH，證明S_△CGH=S_△GHD．則CD∥GH，然后根據平行四邊形的性質求解；
（3）與（2）解法相同，證明S_△CGH=S_△GHD．則點C，D到GH的距離相等，然后利用平行四邊形的性質證得．

解答 解：（1）S_矩形FCHO=S_矩形GDIO，這一結論仍然成立，即的四邊形OHCF面積=四邊形OIDG的面積，此面積的值為6．
在圖①或圖②中連接某兩個已知點，得到的線段與AD和BC都相等，這條線段是GH．
故答案是：四邊形OHCF，四邊形OIDG，6，GH；

（2）成立，證明如下：
如圖①，連接GH，GC，DH，
∵點C，D是反比例圖象上的點，
∴S_矩形FCHO=S_矩形GDIO．
∴$\frac{1}{2}{S_{矩形FCHO}}=\frac{1}{2}{S_{矩形GDIO}}$．
∴S_△CGH=S_△GHD．
∴點C，D到GH的距離相等．
∴CD∥GH． 
∴四邊形BCHG和四邊形GHAD都是平行四邊形．
∴BC=GH，GH=DA．  
即AD=BC；

（3）畫出圖形，得到GH，
∵點C，D是反比例圖象上的點，
∴S_矩形FCHO=S_矩形GDIO．
∴$\frac{1}{2}{S_{矩形FCHO}}=\frac{1}{2}{S_{矩形GDIO}}$．
∴S_△CGH=S_△GHD．
∴點C，D到GH的距離相等．
∴CD∥GH．  
∴四邊形BCHG和四邊形GHAD都是平行四邊形．
∴BC=GH，GH=DA．
即AD=BC．

點評 本題考查了反比例函數的性質以及反比例函數比例系數k的幾何意義，注意題目之間的聯系是解決本題的關鍵．