Question

3．已知直線l₁、l₂，l₁∥l₂，點A是l₁上的點，B、C是l₂上的點，AC⊥BC，∠ABC=60°，AB=4，O是AB的中點，D是CB延長線上的點，將△DOC沿直線CO翻折，點D與D′重合．

（1）如圖1，當點D′落在直線l₁上時，求DB的長；
（2）延長DO交l₁于點E，直線OD′分別交l₁、l₂于點M、N．
①如圖2，當點E在線段AM上時，設AE=x，DN=y，求y關于x的函數解析式及其定義域；
②若△DON的面積為$\frac{3}{2}\sqrt{3}$時，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）過D′作D′H⊥l₂，如圖1所示，可得DH=AC，由折疊的性質及平角定義得到∠D′CH=60°，D′C=DC，求出D′C的長，即為DC的長，再由三角形BOC為等邊三角形，且OC等于斜邊AB的一半，求出BC的長，由DC-BC求出BD的長即可；
（2）①利用兩對角相等的三角形相似得到△BOD∽△CND′，由相似得比例列出關系式，即可確定出y與x的函數解析式，并求出定義域即可；
②過O作OP⊥BC，如圖3所示，由OP的長及已知三角形DON的面積，求出DN的長，分兩種情況考慮：當點E在線段AM上時，如圖3所示，根據DN的長，求出AE的長即可；當點E在線段AM的延長線上時，如圖4所示，同理可得△BOD∽△CND′，由相似得比例求出此時AE的長即可．

解答 解：（1）過D′作D′H⊥l₂，如圖1所示，可得DH=AC=2$\sqrt{3}$，

∵∠DCO=∠D′CO=60°，
∴∠D′CH=60°，
∴CD=CD′=4，
∵∠DCO=∠ABC=∠D′CO=60°，
∴△OBC為等邊三角形，即BO=CO=BC，
∵O為Rt△ABC斜邊AB上的中點，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=2，即BC=2，
∴BD=CD-BC=2；
（2）①∵∠DCO=∠D′CO=∠BOC=60°，
∴∠OBD=∠NCD′=120°，
∵∠ODC=∠ODC′，
∴△BOD∽△CND′，
∴$\frac{BO}{CN}$=$\frac{BD}{CD′}$，即$\frac{2}{2+x+y}$=$\frac{x}{x+2}$，
則y=$\frac{4}{x}$-x（0＜x≤2）；
②過O作OP⊥BC，如圖3所示，
∴S_△DON=$\frac{1}{2}$DN•OP=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，OP=$\sqrt{3}$，
∴DN=3，
當點E在線段AM上時，如圖3所示，

可得DN=y=3，
∴$\frac{4}{x}$-x=3，
解得：x=1（負值舍去），即AE=1；
當點E在線段AM的延長線上時，如圖4所示，

同理可得△BOD∽△CND′，
∴$\frac{BO}{CN}$=$\frac{BD}{CD′}$，即$\frac{2}{2+AE-3}$=$\frac{AE}{AE+2}$，
解得：AE=4，
綜上，AE的長為1或4．

點評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：等邊三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線性質，相似三角形的判定與性質，利用了分類討論的思想，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．