Question

18．△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC分別交AB、AC于E、F．
（1）求證：OE=BE；
（2）若△ABC的周長比△AEF的周長大10，試求出BC的長度．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質得到∠ABC=∠ACB，根據平行線的性質得到∠AEF=∠ABC，等量代換得到∠AEF=∠AFE，根據平行線的性質得到∠EDB=∠DBC，根據角平分線的定義得到∠EBD=∠DBC，于是得到結論；
（2）根據等腰三角形的性質和三角形的周長的計算公式即可得到結論．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，
∴∠AEF=∠AFE，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點D，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠DBC=∠DCB，
∴BE=DE；
（2）由（1）證得BE=DE，
同理DF=CF，
∴△AEF的周長=AB+AC，
∵△ABC的周長比△AEF的周長大10，
∴BC=AB+AC+BC-AB+AC=10．

點評 本題考查了等腰三角形的性質和判定，平行線的性質，熟練掌握等腰三角形的判定和性質是解題的關鍵．