Question

9．如圖，己知∠AOB=90°，過點O作直線CD，作OE⊥CD于點O．
（l）圖中除了直角相等外，再找出一對相等的角，并證明它們相等；
（2）若∠AOD=70°，求∠BOC的度數；
（3）將直線CD繞點O旋轉，若在旋轉過程中，OB所在的直線平分∠DOE，求此時∠AOD的度數．

Answer 1

分析 （1）根據垂直定義可得∠DOB+∠BOE=90°，再根據同角的余角相等可得∠AOD=∠BOE；
（2）根據余角定義可得∠BOD=20°，再根據鄰補角互補可得∠BOC的度數；
（3）根據角平分線性質可得∠DOB=$\frac{1}{2}$∠DOE=45°，再根據角的和差關系可得答案．

解答 解：（1）∠AOD=∠BOE，
∵OE⊥CD于點O，
∴∠DOB+∠BOE=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠DOB=90°，
∴∠AOD=∠BOE；

（2）∵∠AOD=70°，∠AOB=90°，
∴∠BOD=20°，
∴∠BOC=180°-20°=160°；

（3）如圖1所示：
∵OB所在的直線平分∠DOE，
∴∠DOB=$\frac{1}{2}$∠DOE=45°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOD=90°-45°=45°．
如圖2所示：∵OB所在的直線平分∠DOE，
∴∠DOB′=$\frac{1}{2}$∠DOE=45°，
∵∠AOB=90°，∴∠AOB′=90°，
∴∠AOD=90°+45°=135°．
綜上所述：此時∠AOD的度數為45°或135°．

點評 此題主要考查了垂線，以及余角，補角，關鍵是掌握兩角之和為90°時，這兩個角互余，兩角之和為180°時，這兩個角互補．