Question

19．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+4與x軸的正半軸相交于點A，與y軸相交于點B，點C在線段OA上，點D在此拋物線上，CD⊥x軸，且∠DCB=∠DAB，AB與CD相交于點E．
（1）求證：△BDE∽△CAE；
（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此拋物線的表達式．

Answer 1

分析 （1）根據相似三角形的判定定理得到△BEC∽△DEA，根據相似三角形的性質定理得到$\frac{BE}{EC}$=$\frac{DE}{EA}$，根據相似三角形的判定定理證明即可；
（2）設AC=m，根據正切的定義得到DC=3m，根據相似三角形的性質得到∠DBA=∠DCA=90°，根據勾股定理列出算式，求出m的值，利用待定系數法求出拋物線的解析式．

解答 （1）證明：∵∠DCB=∠DAB，∠BEC=∠DEA，
∴△BEC∽△DEA，
∴$\frac{BE}{EC}$=$\frac{DE}{EA}$，又∠BED=∠CEA，
∴△BDE∽△CAE；
（2）解：∵拋物線y=ax²+bx+4與y軸相交于點B，
∴點B的坐標為（0，4），即OB=4，
∵tan∠DAC=3，
∴$\frac{DC}{AC}$=3，
設AC=m，則DC=3m，OA=m+2，
則點A的坐標為（m+2，0），點D的坐標為（2，3m），
∵△BDE∽△CAE，
∴∠DBA=∠DCA=90°，
∴BD²+BA²=AD²，即2²+（3m-4）²+（m+2）²+4²=m²+（3m）²，
解得，m=2，
則點A的坐標為（4，0），點D的坐標為（2，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+4=0}\\{4a+2b+4=6}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的表達式為y=-x²+3x+4．

點評 本題考查的是二次函數的應用，掌握二次函數的性質、待定系數法求函數解析式的一般步驟、掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．