Question

3．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=∠BCD，E為AD中點，連接BE，CE
（1）求證：BE=CE；
（2）若∠BEC=90°，過點B作BF⊥CD，垂足為點F，交CE于點G，連接DG，求證：BG=DG+CD．

Answer 1

分析 （1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，根據等腰梯形同一底上的兩個角相等，可證得∠BAE=∠CDE，繼而可證得△BAE≌△CDE，則可證得BE=CE；
（2）首先延長CD和BE的延長線交于H，易證得△BEG≌△CEH與△GED≌△HED，則可證得BG=DG+CD．

解答 解：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E為AD中點，
∴∠BAE=∠CDE，AE=DE，
在△BAE與△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠BAE=∠CDE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴BE=CE；
（2）延長CD和BE的延長線交于H，
∵BF⊥CD，∠BEC=90°，
∴∠HEC=90°，
∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°，
∴∠EBF=∠ECH，
在△BEG和△CEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠ECH}\\{BE=CE}\\{∠BEC=∠CEH=90°}\end{array}\right.$，
∴△BEG≌△CEH（ASA），
∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，
∵△BAE≌△CDE，
∴∠AEB=∠GED，
∠HED=∠AEB，
∴∠GED=∠HED，
在△GED和△HED中，
$\left\{\begin{array}{l}{EG=EH}\\{∠GED=∠HED}\\{ED=ED}\end{array}\right.$，
∴△GED≌△HED（SAS），
∴DG=DH，
∴BG=DG+CD

點評 此題考查了等腰梯形的性質、等腰三角形的性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度較大，解題的關鍵是準確作出輔助線，利用數形結合思想求解．