Question

6．如圖，直線y=-$\sqrt{3}x+4\sqrt{3}$與x，y軸分別交于點B、A兩點，⊙P的圓心坐標為（1，1），且與x軸相切于點C，現將⊙P從如圖所示的位置開始沿x軸向右滾動，當⊙P與直線AB相切時，圓心P運動的距離為3-$\sqrt{3}$或3+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 對于直線解析式，分別令x與y為0求出相應y與x的值，確定出A與B坐標，求出OA與OB的長，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的長，確定出∠OAB的度數，分兩種情況考慮：當圓P位于直線AB左邊與直線AB相切時，如圖1所示；當圓P位于直線AB右邊與直線AB相切時，如圖2所示，分別求出當圓P與直線AB相切時，圓心P運動的距離即可．

解答 解：對于直線y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$，令x=0，得到y=4$\sqrt{3}$；令y=0，得到x=-4，
∴A（0，4$\sqrt{3}$），B（4，0），
在Rt△AOB中，OA=4$\sqrt{3}$，OB=4，
根據勾股定理得：AB=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=8，
∴∠OAB=30°，∠ABO=60°，
分兩種情況考慮：
當圓P位于直線AB左邊與直線AB相切時，如圖1所示，

連接BP′，可得∠P′BD=30°，P′D=1，
∴P′B=2，BD=$\sqrt{3}$，
則PP′=CD=OB-OC-DB=4-1-$\sqrt{3}$=3-$\sqrt{3}$，即圓心P運動的距離為3-$\sqrt{3}$；
當圓P位于直線AB右邊與直線AB相切時，如圖2所示，

連接BP′，可得∠P′BD=60°，P′D=1，∠BP′D=30°，
設BD=x，則有P′B=2x，
根據勾股定理得：x²+1=4x²，
解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（負值舍去），即BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴PP′=CD=OB+BD-OC=4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$-1=3+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即圓心P運動的距離為3+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：3-$\sqrt{3}$或3+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：一次函數與坐標軸的交點，勾股定理，坐標與圖形性質，含30度直角三角形的性質，以及直線與圓相切的性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．