Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），直線l為圓O：x²+y²=b²的一條切線并且過橢圓的右焦點，記橢圓的離心率為e．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（1）若直線l的傾斜角為$\frac{π}{6}$，求e的大小；
（2）是否存在這樣的e，使得原點O關于直線l對稱的點恰好在橢圓C上，若存在，請求出e的大小；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，右焦點在圓上或在圓的外部，因此c≥b．即c²≥b²=a²-c²，解出即可得出．
（2）依題意，設直線l：$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x-c}）$，由l與圓x²+y²=b²相切得$\frac{{|{\frac{{\sqrt{3}}}{3}c}|}}{{\sqrt{1+{{（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）}^2}}}}=b$，化簡即可得出．
（3）設原點關于直線l對稱的點為M（x，y），則M到原點的距離為2b，M到焦點F（c，0）的距離為c．由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}={{（{2b}）}^2}}\\{{{（{x-c}）}^2}+{y^2}={c^2}}\end{array}}\right.$，解出代入橢圓方程解出離心率，比較即可判斷出結論．

解答 解：（1）由題意可知，右焦點在圓上或在圓的外部，因此c≥b．
∴c²≥b²=a²-c²，也即$\frac{c^2}{a^2}≥\frac{1}{2}$，解之可得$\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤e＜1$．
∴橢圓的離心率e的取值范圍是$[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$．
（2）依題意，設直線l：$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x-c}）$，由l與圓x²+y²=b²相切得$\frac{{|{\frac{{\sqrt{3}}}{3}c}|}}{{\sqrt{1+{{（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）}^2}}}}=b$，即c²=4b²，
∴c²=4（a²-c²），解得$e=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（3）設原點關于直線l對稱的點為M（x，y），則M到原點的距離為2b，M到焦點F（c，0）的距離為c．
由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}={{（{2b}）}^2}}\\{{{（{x-c}）}^2}+{y^2}={c^2}}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{x={{\frac{2b}{c}}^2}}\\{{y^2}=\frac{{4{b^2}{c^2}-4{b^4}}}{c^2}}\end{array}}\right.$，代入橢圓方程可得4b²=3a²，易得$e=\frac{1}{2}$
這與$\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤e＜1$矛盾，故離心率不存在．

點評 本題考查了橢圓底邊在方程及其性質、直線與圓相切的性質、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．