Question

一個自然數在四進制表示當中的各位數字之和是5，在五進制表示當中的各位數字之和是4，那么這個自然數除以3的余數是

2

，滿足要求的最小自然數是（十進制表示）

56

．

Answer 1

分析：我們先從小到大寫出各位數字之和是4的五進制的數，將它們化成十進制的形式，再進一步轉化為四進制的形式，找到最先出現的數字之和為5的數即可得到最小的自然數，再根據3的倍數的特征求余數即可解答．

解答：解：各位數字之和是4的五進制的數，與四進制、十進制的轉化如下表

五進制數	十進制數	四進制數	四進制數字和
4	4	10	1
13	8	20	2
22	12	30	3
31	16	100	1
40	20	110	2
103	28	130	4
112	32	200	2
121	36	210	3
130	40	220	4
202	52	310	4
211	56	320	5
…	…	…	…

由表可知，滿足要求的最小自然數是（十進制表示） 56．
56的各位數字相加為11，11÷3=3…2，即56除以3的余數是2．
故答案為：2，56．

點評：本題主要考查了特殊進位制之間的相互轉化，對小學生來講比較困難，解題關鍵是找出符合條件的最小數值．
理論驗證如下：
對任意某進制數，其各位數字和能被（N-1）整除，則該數能被N-1整除．亦即該數的十進制值能被N-1整除；
在10進制中，各位數字和能被9整除，則此數必能被9整除；
在5進制中，各位數字和能被4整除，則此數必能被4整除；
在4進制中，各位數字和能被3整除，則此數必能被3整除；
證法參考10進制中被9整除的情況；
對任意某N進制數，其各位數字和被（N-1）除余K，則該數被（N-1）除余K；
結合以上兩點，則
由在5進制表示當中的各位數字之和是4=5-1，推得該數被4整除；
由在4進制表示當中的各位數字之和是5=（4-1）+2，推得該數被3除余2；
被4整除、被3除余2的最小正整數時8，則有此性質的自然數=12T+8【T屬于自然數】；
因（12T+8 ）÷4=3T+2，也就是說除去四進制數個位上的0（必然的），
只需求某 3T+2 在四進制中各數字之和=5；
顯然有T=4時，3T+2=14=4進制[32]符合且最小；
此時12T+8=12×4+8=56．