Question

3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），經過點A的直線l：y=kx+b與y軸負半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD=4AC．

（1）直接寫出點A的坐標，并求直線l的函數表達式；
（2）點E是直線l上方的拋物線上的動點，求△ACE的面積的最大值；
（3）設P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作DH⊥AB于H，首先求出點A坐標，由OC∥DH，得$\frac{AC}{CD}$=$\frac{OA}{OH}$=$\frac{1}{4}$，由OA=1，推出OH=4，推出D（4，-$\frac{5}{2}$），再利用待定系數法求出直線l的解析式即可．
（2）如圖2中，連接EA、EC，作EK∥OC交AD于K，設E（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{3}{2}$），則K（m，-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$），EK=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2．根據S_△ACE=S_△AEK-S_△CEK，構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．
（3）存在．如圖3中，當AD為矩形的對角線時，設對角線的交點為N．P（1，b）．根據題意PN=AN=DN=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，可得方程（$\frac{5\sqrt{5}}{4}$）²=（1-$\frac{3}{2}$）²+（b+$\frac{5}{4}$）²，求出點P坐標，再利用中點坐標公式，求出點Q坐標，檢驗點Q是否在拋物線上，即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作DH⊥AB于H．

對于拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$，令y=0，得-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$=0，解得x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵OC∥DH，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{OA}{OH}$=$\frac{1}{4}$，∵OA=1，
∴OH=4，
∴D（4，-$\frac{5}{2}$），
設直線AD的解析式為y=kx+b則有$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{4k+b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線l的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$．

（2）如圖2中，連接EA、EC，作EK∥OC交AD于K，設E（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{3}{2}$），則K（m，-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$），EK=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2．

∵S_△ACE=S_△AEK-S_△CEK=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2）×（m+1）-$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2）×m=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{4}$m+1=-$\frac{1}{4}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{16}$，
∵-$\frac{1}{4}$＜0，
∴m=$\frac{3}{2}$時，△ACE的面積最大，最大值為$\frac{25}{16}$．

（3）存在．如圖3中，當AD為矩形的對角線時，設對角線的交點為N．P（1，b）．

∵A（-1，0），D（4，-$\frac{5}{2}$），
∴N（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$），AD=$\sqrt{{5}^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∵∠APD=90°，
∴PN=AN=DN=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
∴（$\frac{5\sqrt{5}}{4}$）²=（1-$\frac{3}{2}$）²+（b+$\frac{5}{4}$）²，
解得b=-4或$\frac{3}{2}$（不合題意舍棄），
∴P（1，-4），
∵PN=NQ，AN=ND，
∴Q（2，$\frac{3}{2}$），
對于拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$，
∵x=2時，y=$\frac{3}{2}$，
∴點Q（2，$\frac{3}{2}$）在拋物線上，
∴以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形，此時點P坐標（1，-4）．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、矩形的判定和性質，中點坐標公式、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會構建二次函數解決最值問題，學會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．