Question

20．求1+2+2²+2³+…+2²⁰¹²的值，可令S=1+2+2²+2³+…+2²⁰¹²，則2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³，因此2S-S=2²⁰¹³-1．仿照以上推理，計算出1+5+5²+5³+…+5²⁰¹²的值為（　　）

• A． 5²⁰¹²-1
• B． 5²⁰¹³-1
• C． $\frac{{5}^{2013}-1}{4}$
• D． $\frac{{5}^{2012}-1}{4}$

Answer 1

分析 觀察題目中所給的推理方法：可以發現，當乘方的底數為2的時候，把原式乘上2，再與原式相減即可得出答案；因此當乘方中底數為5時，把原式乘上5，得到與原式類似的式子，再減去原式即可得到答案．據此解決．

解答 解：設S=1+5+5²+5³+…+5²⁰¹²，
則5S=5+5²+5³+5⁴+…+5²⁰¹³，
所以5S-S=（5+5²+5³+5⁴+…+5²⁰¹³）-（1+5+5²+5³+…+5²⁰¹²）
=5+5²+5³+5⁴+…+5²⁰¹³-1-5-5²-5³-…-5²⁰¹²
=5²⁰¹³-1，
即4S=5²⁰¹³-1
所以S=$\frac{{5}^{2013}-1}{4}$；
故選：C．

點評 解決本題的關鍵是觀察題干中的推理過程，找到規律，然后應用規律解決問題．