Question

已知兩個自然數的差為2，他們的最小公倍數與最大公約數之差為142．求這兩個自然數．

Answer 1

分析：設其中較小的一個自然數為x，另一個則為x+2，那么這兩個自然數的最大公約數只有兩種可能，一個為1，一個為2．若最大公約數為1，則他們的最小公倍數為142+1=143，又因為最大公約數乘以他們的最小公倍數恰為兩個自然數的積，所以：1×143=a×（a+2）=11×13；若最大公約數為2，則他們的最小公倍數為142+2=144，而：2×144=（a+2）×a=16×18；故本題有2個答案．

解答：解：設其中一個自然數為x，另一個位x+2，
（1）當（x，x+2）=1時，[x，x+2]=142+1=143，
而（x，x+2）×[x，x+2]=1×143=11×13=x×（x+2）
所以x=11，x+2=13；
（2）當（x，x+2）=2時，[x，x+2]=142+2=144，
而（x，x+2）×[x，x+2]=2×144=16×18=x×（x+2）
所以x=16，x+2=18
答：這兩個自然數為11和13或16和18．

點評：根據題意進行分析，得出兩數的最大公約數的兩種可能，是完成本題的關鍵．