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17.(本小題滿分12分)設函數f(x)=cos(2x+)+sinx.

求函數f(x)的最大值和最小正周期.

(1) 設A,B,C為ABC的三個內角，若cosB=，f()=－，且C為銳角，求sinA.

解: (1)f(x)=cos(2x+)+sinx.=

所以函數f(x)的最大值為,最小正周期.

(2)f()==－,所以,因為C為銳角,所以,所以,所以sinA =cosB=.

[命題立意]:本題主要考查三角函數中兩角和差的弦函數公式、二倍角公式、三角函數的性質以及三角形中的三角關系.

(18)(本小題滿分12分)

　　 如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,　 AA=2,　 E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。

(1) 證明：直線EE//平面FCC；

(2) 求二面角B-FC-C的余弦值。

解法一：(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中點F₁，

連接A₁D，C₁F₁，CF₁，因為AB=4, CD=2,且AB//CD，

所以CD\s\up8(//(//)//(=)A₁F₁，A₁F₁CD為平行四邊形，所以CF₁//A₁D，

　又因為E、E分別是棱AD、AA的中點，所以EE₁//A₁D，

所以CF₁//EE₁，又因為平面FCC，平面FCC，

所以直線EE//平面FCC.

(2)因為AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,取CF的中點O,則OB⊥CF,又因為直四棱柱ABCD-ABCD中,CC₁⊥平面ABCD,所以CC₁⊥BO,所以OB⊥平面CC₁F,過O在平面CC₁F內作OP⊥C₁F,垂足為P,連接BP,則∠OPB為二面角B-FC-C的一個平面角, 在△BCF為正三角形中,,在Rt△CC₁F中, △OPF∽△CC₁F,∵∴,

在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值為.

解法二:(1)因為AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中點,

所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形, 因為ABCD為

等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中點M,

連接DM,則DM⊥AB,所以DM⊥CD,

以DM為x軸,DC為y軸,DD₁為z軸建立空間直角坐標系,

,則D(0,0,0),A(,-1,0),F(,1,0),C(0,2,0),

C₁(0,2,2),E(,,0),E₁(,-1,1),所以,,設平面CC₁F的法向量為則所以取,則,所以,所以直線EE//平面FCC.

(2),設平面BFC₁的法向量為,則所以,取,則,

,,

所以,由圖可知二面角B-FC-C為銳角,所以二面角B-FC-C的余弦值為.

[命題立意]:本題主要考查直棱柱的概念、線面位置關系的判定和二面角的計算.考查空間想象能力和推理運算能力,以及應用向量知識解答問題的能力.

(19)(本小題滿分12分)

　　 在某校組織的一次籃球定點投籃訓練中，規定每人最多投3次；在A處每投進一球得3分，在B處每投進一球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次，某同學在A處的命中率q為0.25，在B處的命中率為q，該同學選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用表示該同學投籃訓練結束后所得的總分，其分布列為

	0	2	3	4	5
p	0.03	P1	P2	P3	P4

(1) 求q的值；

(2) 求隨機變量的數學期望E;

(3) 試比較該同學選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小。

解:(1)設該同學在A處投中為事件A,在B處投中為事件B,則事件A,B相互獨立,且P(A)=0.25,, P(B)= q,.

根據分布列知: =0時=0.03,所以，q=0.2.

(2)當=2時, P₁=

=0.75 q( )×2=1.5 q( )=0.24

當=3時, P₂ ==0.01,

當=4時, P₃==0.48,

當=5時, P₄=

=0.24

所以隨機變量的分布列為

	0	2	3	4	5
p	0.03	0.24	0.01	0.48	0.24

隨機變量的數學期望

(3)該同學選擇都在B處投籃得分超過3分的概率為

;

該同學選擇(1)中方式投籃得分超過3分的概率為0.48+0.24=0.72.

由此看來該同學選擇都在B處投籃得分超過3分的概率大.

[命題立意]:本題主要考查了互斥事件的概率,相互獨立事件的概率和數學期望,以及運用概率知識解決問題的能力.

(20)(本小題滿分12分)

等比數列{}的前n項和為， 已知對任意的　 ，點，均在函數且均為常數)的圖像上.

(1)求r的值；　　

(11)當b=2時，記　 　　

證明：對任意的 ，不等式成立

解:因為對任意的,點，均在函數且均為常數的圖像上.所以得,當時,,當時,,又因為{}為等比數列,所以,公比為,

(2)當b=2時，,　　

則,所以

下面用數學歸納法證明不等式成立.

① 當時,左邊=,右邊=,因為,所以不等式成立.

② 假設當時不等式成立,即成立.則當時,左邊=

所以當時,不等式也成立.

由①、②可得不等式恒成立.

[命題立意]:本題主要考查了等比數列的定義,通項公式,以及已知求的基本題型,并運用數學歸納法證明與自然數有關的命題,以及放縮法證明不等式.

(21)(本小題滿分12分)

兩縣城A和B相距20km，現計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k ,當垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065.

(1)將y表示成x的函數；

(11)討論(1)中函數的單調性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點到城A的距離;若不存在，說明理由。

解:(1)如圖,由題意知AC⊥BC,,

其中當時，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函數為

設,則,,所以當且僅當即時取”=”.

下面證明函數在(0,160)上為減函數, 在(160,400)上為增函數.

設0<m₁<m₂<160,則

　

,

因為0<m₁<m₂<160,所以4>4×240×240

9 m₁m₂<9×160×160所以,

所以即函數在(0,160)上為減函數.

同理,函數在(160,400)上為增函數,設160<m₁<m₂<400,則

因為1600<m₁<m₂<400,所以4<4×240×240, 9 m₁m₂>9×160×160

所以,

所以即函數在(160,400)上為增函數.

所以當m=160即時取”=”,函數y有最小值,

所以弧上存在一點，當時使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小.

[命題立意]:本題主要考查了函數在實際問題中的應用,運用待定系數法求解函數解析式的 能力和運用換元法和基本不等式研究函數的單調性等問題.

(22)(本小題滿分14分)

設橢圓E: (a,b>0)過M(2，) ，N(,1)兩點，O為坐標原點，

(I)求橢圓E的方程；

(II)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。

解:(1)因為橢圓E: (a,b>0)過M(2，) ，N(,1)兩點,

所以解得所以橢圓E的方程為

(2)假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即,

則△=,即

,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.

[命題立意]:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關系直線與圓的位置關系和待定系數法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關參數問題以及方程的根與系數關系.

16.已知定義在R上的奇函數，滿足,且在區間[0,2]上是增函數,若方程f(x)=m(m>0)在區間上有四個不同的根,則

[解析]:因為定義在R上的奇函數，滿足,所以,所以, 由為奇函數,所以函數圖象關于直線對稱且,由知,所以函數是以8為周期的周期函數,又因為在區間[0,2]上是增函數,所以在區間[-2,0]上也是增函數.如圖所示,那么方程f(x)=m(m>0)在區間上有四個不同的根,不妨設由對稱性知所以

答案:-8

[命題立意]:本題綜合考查了函數的奇偶性,單調性,

對稱性,周期性,以及由函數圖象解答方程問題,

運用數形結合的思想和函數與方程的思想解答問題.

15.執行右邊的程序框圖，輸入的T=　　　　　 .

[解析]:按照程序框圖依次執行為S=5,n=2,T=2;

S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;

S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,輸出T=30

答案:30

[命題立意]:本題主要考查了循環結構的程序框圖,一般都可以

反復的進行運算直到滿足條件結束,本題中涉及到三個變量,

注意每個變量的運行結果和執行情況.

14.若函數f(x)=a-x-a(a>0且a1)有兩個零點，則實數a的取值范圍是　　　　 .

[解析]: 設函數且和函數,則函數f(x)=a-x-a(a>0且a1)有兩個零點, 就是函數且與函數有兩個交點,由圖象可知當時兩函數只有一個交點,不符合,當時,因為函數的圖象過點(0,1),而直線所過的點一定在點(0,1)的上方,所以一定有兩個交點.所以實數a的取值范圍是

答案:

[命題立意]:本題考查了指數函數的圖象與直線的位置關系,隱含著對指數函數的性質的考查,根據其底數的不同取值范圍而分別畫出函數的圖象解答.

13.不等式的解集為　　　　　 .

[解析]:原不等式等價于不等式組①或②

或③不等式組①無解,由②得,由③得,綜上得,所以原不等式的解集為.

答案:

[命題立意]:本題考查了含有多個絕對值號的不等式的解法,需要根據絕對值的定義分段去掉絕對值號,最后把各種情況綜合得出答案.本題涉及到分類討論的數學思想.

12. 設x，y滿足約束條件　 　，

若目標函數z=ax+by(a>0，b>0)的是最大值為12，

則的最小值為(　　　　 ).

A.　　　　 B.　　　　　 C. 　　　　　D. 4

[解析]:不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分,當直線ax+by= z(a>0，b>0)

過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(4,6)時,

目標函數z=ax+by(a>0，b>0)取得最大12,

即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故選A.

答案:A

[命題立意]:本題綜合地考查了線性規劃問題和由基本不等式求函數的最值問題.要求能準確地畫出不等式表示的平面區域,并且能夠求得目標函數的最值,對于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘積進而用基本不等式解答.

第卷

11.在區間[-1，1]上隨機取一個數x，的值介于0到之間的概率為(　　　 ).

A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.

[解析]:在區間[-1，1]上隨機取一個數x,即時,, ∴

區間長度為1, 而的值介于0到之間的區間長度為,所以概率為.故選C

答案:C

[命題立意]:本題考查了三角函數的值域和幾何概型問題,由自變量x的取值范圍,得到函數值的范圍,再由長度型幾何概型求得.