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(1)當(dāng)時(shí).求證:在上是減函數(shù), 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

(12分)已知，．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：在上是減函數(shù)；

（Ⅱ）如果對(duì)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求證：在上是減函數(shù)；

（2）如果對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

 

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解答題

已知，．

(1)

當(dāng)時(shí)，求證：在上是減函數(shù)；

(2)

如果對(duì)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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已知函數(shù)f（x）=x4+ax3+bx2+c，其圖象在y軸上的截距為-5，在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減，又當(dāng)x=0，x=2時(shí)取得極小值．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）能否找到垂直于x軸的直線，使函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于此直線對(duì)稱，并證明你的結(jié)論；
*（Ⅲ）設(shè)使關(guān)于x的方程f（x）=λ2x2-5恰有三個(gè)不同實(shí)根的實(shí)數(shù)λ的取值范圍為集合A，且兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2．試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2+tm+2≤|x1-x2|對(duì)任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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已知函數(shù)f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求n，m的關(guān)系式并求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)0＜x1＜x2＜1，關(guān)于x的方程：f′(x)-
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=0在（x1，x2）恒有實(shí)數(shù)解
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0，使得f′(x0)=
f(b)-f(a)
b-a
．如我們所學(xué)過(guò)的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件．試用拉格朗日中值定理證明：
當(dāng)0＜a＜b時(shí)，
b-a
b
＜ln
b
a
＜
b-a
a
（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.

1．A  2．C  3．C  4．A   5．C   6．C  7．B  8．C   9．D  10．D   11．D  12．D

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.

13．   14．    15．     16．40

三、解答題：本大題共6小題，共74分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17．解：

，聯(lián)合

得，即

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

∴當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

18．解：由題意可知，這個(gè)幾何體是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC1.

   （1）連結(jié)AC1，AB1.

    由直三棱柱的性質(zhì)得AA1⊥平面A1B1C1，所以AA1⊥A1B1，則四邊形ABB1A1為短形.

    由矩形性質(zhì)得AB1過(guò)A1B的中點(diǎn)M.

在△AB1C1中，由中位線性質(zhì)得MN//AC1，

    又AC1平面ACC1A1，MN平面ACC1A1，

所以MN//平面ACC1A1

   （2）因?yàn)锽C⊥平面ACC1A1，AC平面ACC1A1，所以BC⊥AC1.

在正方形ACC1A1中，A1C⊥AC1.

又因?yàn)锽C∩A1C=C，所以AC1⊥平面A1BC.

由MN//AC1，得MN⊥平面A1BC

19．解：（1）基本事件空間與點(diǎn)集中                                     

的元素一一對(duì)應(yīng)． 

    因?yàn)镾中點(diǎn)的總數(shù)為5×5=25(個(gè))，所以基本事侉總數(shù)為n=25

    事件A包含的基本事件數(shù)共5個(gè)：

    (1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)，

所以

   （2）B與C不是互斥事件．因?yàn)槭录﨎與C可以同時(shí)發(fā)生，如甲贏一次，乙贏兩次的事件即符合題意

   （3）這種游戲規(guī)則不公平．由 (Ⅰ)知和為偶數(shù)的基本事件數(shù)為13個(gè)：

(1，1)、(1，3)、(1，5)、(2，2)、(2，4)、(3，1)、(3，3)、(3，5)、(4，2)、(4，4)、(5，1)、 (5，3)、(5，5)

所以甲贏的概率為，乙贏的概率為，

    所以這種游戲規(guī)則不公平．

20．（1）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，

直線的方程為，與聯(lián)立得

消去得．

由韋達(dá)定理得，．

于是．

，

*   當(dāng)，．

   （2）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，

設(shè)的中點(diǎn)為，與為直徑的圓相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，

則，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

，

，

，

．

令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．

21．解：（1）當(dāng)時(shí)，，

∵，∴在上是減函數(shù).

   （2）∵不等式恒成立，即不等式恒成立，

∴不等式恒成立. 當(dāng)時(shí)，  不恒成立；

當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即，∴.

當(dāng)時(shí)，不等式不恒成立. 綜上，的取值范圍是.

22．解：（1）∵ 的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列

∴ .

∵ 位于函數(shù)的圖象上,

∴ ,

∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為.

   （2）據(jù)題意可設(shè)拋物線的方程為：,

即．

∵ 拋物線過(guò)點(diǎn)（0，）,

∴ ,

∴   ∴ ．

∵ 過(guò)點(diǎn)且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線即為以為切點(diǎn)的切線，

∴ ．

∴ （），

∴

∴ ．

   （3）∵    ，

∴ 中的元素即為兩個(gè)等差數(shù)列與中的公共項(xiàng)，它們組成以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列．

∵ ，且成等差數(shù)列，是中的最大數(shù)，

∴ ，其公差為．

*當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)    ∴ 不滿足題意，舍去．

*當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，

∴ ．

當(dāng)時(shí)，．

此時(shí)， 不滿足題意，舍去．

綜上所述，所求通項(xiàng)為．

 

 

 


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