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[例1]在正方體ABCD-ABCD中,O是底面ABCD的中心.M.N分別是棱DD.DC的中點.則直線OM( ). A .是AC和MN的公垂線. B .垂直于AC但不垂直于MN. C .垂直于MN.但不垂直于AC. D .與AC.MN都不垂直. 錯解:B. 錯因:學生觀察能力較差.找不出三垂線定理中的射影. 正解:A. [例2]如圖.已知在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點.G,H分別是BC,CD上的點,且,求證:直線EG,FH,AC相交于一點. 錯解:證明:.F分別是AB,AD的中點, ∥BD,EF=BD, 又, GH∥BD,GH=BD, 四邊形EFGH是梯形.設兩腰EG,FH相交于一點T, ,F分別是AD.AC與FH交于一點. 直線EG,FH,AC相交于一點正解:證明:.F分別是AB,AD的中點, ∥BD,EF=BD, 又, GH∥BD,GH=BD, 四邊形EFGH是梯形.設兩腰EG,FH相交于一點T, 平面ABC,FH平面ACD, T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC, ,直線EG,FH,AC相交于一點T. [例3]判斷:若a,b是兩條異面直線.P為空間任意一點.則過P點有且僅有一個平面與a,b都平行. 錯解:認為正確. 錯因:空間想像力不夠.忽略P在其中一條線上.或a與P確定平面恰好與b平行.此時就不能過P作平面與a平行. 正解:假命題． [例4] 如圖.在四邊形ABCD中.已知AB∥CD.直線AB.BC.AD.DC分別與平面α相交于點E.G.H.F．求證:E.F.G.H四點必定共線．分析:先確定一個平面.然后證明相關直線在這個平面內.最后證明四點共線．證明 ∵ AB//CD. AB.CD確定一個平面β．又∵AB ∩α＝E.ABβ. Eα.Eβ. 即 E為平面α與β的一個公共點．同理可證F.G.H均為平面α與β的公共點． ∵ 兩個平面有公共點.它們有且只有一條通過公共點的公共直線. ∴ E.F.G.H四點必定共線．點評:在立體幾何的問題中.證明若干點共線時.先證明這些點都是某兩平面的公共點.而后得出這些點都在二平面的交線上的結論． [例5]如圖.已知平面α.β.且α∩β＝．設梯形ABCD中.AD∥BC.且ABα.CDβ.求證:AB.CD.共點．分析:AB.CD是梯形ABCD的兩條腰.必定相交于一點M.只要證明M在上.而是兩個平面α.β的交線.因此.只要證明M∈α.且M∈β即可．證明: ∵ 梯形ABCD中.AD∥BC. ∴AB.CD是梯形ABCD的兩條腰． ∴ AB.CD必定相交于一點. 設 AB ∩CD＝M．又∵ ABα.CDβ.∴ M∈α.且M∈β． ∴ M∈α∩β．又∵ α∩β＝.∴ M∈. 即 AB.CD.共點．點評:證明多條直線共點時.與證明多點共線是一樣的． [例6]已知:a.b.c.d是不共點且兩兩相交的四條直線.求證:a.b.c.d共面．分析:弄清楚四條直線不共點且兩兩相交的含義:四條直線不共點.包括有三條直線共點的情況,兩兩相交是指任何兩條直線都相交．在此基礎上.根據平面的性質.確定一個平面.再證明所有的直線都在這個平面內．證明 1º若當四條直線中有三條相交于一點.不妨設a.b.c相交于一點 A ∴ 直線d和A確定一個平面α．又設直線d與a.b.c分別相交于E.F.G. 則 A.E.F.G∈α． ∵ A.E∈α.A.E∈a. ∴ aα．同理可證 bα.cα． ∴ a.b.c.d在同一平面α內． 2º當四條直線中任何三條都不共點時.如圖． ∵ 這四條直線兩兩相交. 則設相交直線a.b確定一個平面α．設直線c與a.b分別交于點H.K. 則 H.K∈α．又∵ H.K∈c.∴ cα．同理可證 dα． ∴ a.b.c.d四條直線在同一平面α內．點評:證明若干條線共面的一般步驟是:首先由題給條件中的部分線確定一個平面.然后再證明其余的線均在這個平面內．本題最容易忽視“三線共點這一種情況．因此.在分析題意時.應仔細推敲問題中每一句話的含義． [例7] 在立方體ABCD-A1B1C1D1中. (1)找出平面AC的斜線BD1在平面AC內的射影, (2)直線BD1和直線AC的位置關系如何? (3)直線BD1和直線AC所成的角是多少度? 解:(1)連結BD, 交AC于點O . (2)BD1和AC是異面直線. (3)過O作BD1的平行線交DD1于點M.連結MA.MC.則∠MOA或其補角即為異面直線AC和BD1所成的角. 不難得到MA＝MC.而O為AC的中點.因此MO⊥AC.即∠MOA＝90°. ∴異面直線BD1與AC所成的角為90°. [例8] 已知:在直角三角形ABC中.A為直角.PA⊥平面ABC.BD⊥PC.垂足為D.求證:AD⊥PC 證明:∵ PA ⊥平面ABC∴ PA⊥BA 又∵ BA⊥AC ∴ BA⊥平面PAC ∴ AD是BD在平面PAC內的射影又∵ BD⊥PC ∴ AD⊥PC. 四.典型習題導練1．如圖, P是△ABC所在平面外一點.連結PA.PB.PC后.在包括AB.BC.CA的六條棱所在的直線中.異面直線的對數為( ) A.2對 B.3對 C.4對 D.6對【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

在棱長為2的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,O是底面ABCD的中心,E、F分別是CC₁、AD的中點,用空間向量的方法求線段D₁F、OE、EF的長.

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在正方體ABCD-ABCD,O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD、DC的中點，則直線OM( )