Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD₁、D₁C₁的中點，則直線OM（　　）

• A、和AC、MN都垂直
• B、垂直于AC，但不垂直于MN
• C、垂直于MN，但不垂直于AC
• D、與AC、MN都不垂直

Answer 1

分析：此題的條件使得建立空間坐標系方便，且選項中研究的位置關系也適合用空間向量來證明其垂直關系，故應先建立坐標系，設出邊長，據幾何特征，給出各點的坐標，驗證向量內積是否為零．

解答：解：以DA、DC、DD₁所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．設正方體的棱長為2a，則D（0，0，0）、D₁（0，0，2a）、M（0，0，a）、A（2a，0，0）、C（0，2a，0）、O（a，a，0）、N（0，a，2a）．
∴

OM

=（-a，-a，a），

MN

=（0，a，a），

AC

=（-2a，2a，0）．
∴

OM

•

MN

=0，

OM

•

AC

=0，
∴OM⊥AC，OM⊥MN．
故選A．

點評：考查用空間向量的方法來判斷線線垂直，本題的方法是空間向量應用于立體幾何中的主要方式，可以看到用向量法解決本題，大大降低了思維的難度．