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湖北省百所重點(diǎn)中學(xué)

2009 屆高三聯(lián) 合考試

數(shù)學(xué)試題（理科）

考生注意：

1．本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘。

2．請(qǐng)將各題答案填在試卷后面的答題卷上。

3．本試卷主要考試內(nèi)容：集合與簡(jiǎn)易邏輯、函數(shù)、數(shù)列（約占70%），排列、組合、二項(xiàng)式定理、概率、以及選修II的概率與統(tǒng)計(jì)、極限、數(shù)學(xué)歸納法、導(dǎo)數(shù)、復(fù)數(shù)（約占30%）。

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）

1．設(shè)A、B是非空數(shù)集，定義：，則的非空真子集個(gè)數(shù)為（）

A．64 B．32 C．31 D．30

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2．已知的值為（）

A．4 B．―4 C．4+4i D．2i

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3．已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（3，4），則a等于（）

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A． B． C． D．2

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4．若函數(shù)的定義域?yàn)?nbsp; （）

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A．[0，1] B． C． D．[1，2]

5．如果函數(shù)那么（）

A． B．

C． D．

6．如果隨機(jī)變量等于

（其中內(nèi)的取值概率為0.954；在內(nèi)的取值概率為0.997）（）

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A．0.5 B．0.683 C．0.954 D．0.997

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8．函數(shù)有

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是

（）

A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)

C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)

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9．已知函數(shù)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)的值為（）

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A． B． C． D．

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10．函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為

（）

A．1 B．2 C．3 D．4

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二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在答題卷中的橫線上。）

11．已知的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

82615205

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14．如圖，一個(gè)類似楊輝三角的遞推式，則（1）第n行

的首尾兩數(shù)均為，（2）第n行的第2個(gè)數(shù)

為。

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15．已知函數(shù)給出以下四個(gè)命題：

①若；

②若；

③對(duì)稱；

④

其中正確命題的序號(hào)是（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）。

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三、解答題（本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟）

16．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)

（1）求的定義域；

（2）求的值域。

17．（本小題滿分12分）

設(shè)A是符合以下性質(zhì)的函數(shù)且

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上是減函數(shù)。

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（1）判斷函數(shù)是否屬于集合A，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；

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（2）把（1）中你認(rèn)為是集合A中的一個(gè)函數(shù)記為對(duì)任意的總成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

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18．（本小題滿分12分）

某旅游點(diǎn)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自德車的費(fèi)用是每日115元。

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過(guò)6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過(guò)1元，租不出的自行車就增加3輛。

為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x（元）只取整數(shù)，并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y（元）表示出租自行車的日凈收入（即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后的所得）。

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（1）求函數(shù)的解析式及其定義域；

（2）試問(wèn)當(dāng)每輛自行車的日租金定為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？

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19．（本小題滿分13分）

2008年中國(guó)北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物由5個(gè)“中國(guó)福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮。現(xiàn)有8個(gè)相同的盒子，每個(gè)盒子中放一只福娃，每種福娃的數(shù)量如下表：

福娃名稱

貝貝

晶晶

歡歡

迎迎

妮妮

數(shù)量

從中隨機(jī)地選取5只。

（1）求選取的5只恰好組成完整“奧運(yùn)吉祥物”的概率；

（2）若完整地選取奧運(yùn)會(huì)吉祥物記100分；若選出的5只中僅差一種記80分；差兩種記60分；以此類推。設(shè)ξ表示所得的分?jǐn)?shù)，求ξ的分布列和期望值。

20．（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)

（1）若表達(dá)式；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)的取值范圍；

（3）設(shè)

21．（本小題滿分14分）

數(shù)列

（1）求證：①；②；

（2）比較的大小，并加以證明。

1．D 2．B 3．D 4．B 5．A 6．B 7．C 8．B 9．A 10．C

11． 12． 13．3 14． 15．①②④

16．解：（1）由題意，得 ………………2分

解不等式組，得……4分

（2） ………………6分

………………7分

上是增函數(shù)。 ………………10分

又，

………………12分

17．解：（1），

不在集合A中。 ………………3分

又， ………………5分

上是減函數(shù)，

在集合A中。 ………………8分

（2）當(dāng)， ………………11分

又由已知，

因此所求的實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ………………12分

18．解：（1）當(dāng)

………………2分

， ………………5分

故 ………………6分

定義域?yàn)?sub> ………………7分

（2）對(duì)于，

顯然當(dāng)（元）， ………………9分

∴當(dāng)每輛自行車的日租金定在11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多。…………12分

19．解：（1）選取的5只恰好組成完整“奧運(yùn)吉祥物”的概率

………………4分

（2） ………………5分

………………9分

ξ的分布列為

100

………………11分

………………13分

20．解：（1）恒成立，

知

從而 ………………4分

（2）由（1）可知，

由于是單調(diào)函數(shù)，

知 ………………8分

（3）

上是增函數(shù)，

………………12分

21．（1）證明：①因?yàn)?sub>

當(dāng)且僅當(dāng)

因?yàn)?sub> ………………3分

②因?yàn)?sub>，由①得（i）

下面證明：對(duì)于任意成立。

根據(jù)（i）、（ii）得 ………………9分

（2）解：由

從而

因?yàn)?sub>

………………11分

當(dāng)

………………14分

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