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1．設a,b是滿足ab<0的實數，那么　　　　　　　　　　　　　　　

A．|a+b|>|a－b|     B．|a+b|<|a－b|    C．|a－b|<|a|－|b|     D．|a－b|<|a|+|b|

2． 函數的定義域為

   A．(－1, 2)        B．(－1,0)∪(0, 2)      C．(0, 2)    D．(－1,0)

3．如果復數為純虛數，則

A．1            B．2         C．-2             D．0

4．設，則  

A．   B．   C．  D．

5.若函數的最小正周期為，且最大值為，則將圖象按向量平移后的函數解析式是

A．   B．  C．    D．

6．已知、均為單位向量，它們的夾角為60°，那么｜＋3|=

A．　　B．　　　C．       D．4

7. 已知函數,則二項式展開式中常數項是

A．第7項      B．第8項      C．第9項      D．第10項

8．過直線上的一點作圓的兩條切線，當直線關于對稱時，則直線之間的夾角為

 A．           B.                C.            D.

9．我們把球外一點與球面上的一動點之間的距離的最小值叫做該點到球面的距離，則空間一點P(1,4,-2)到球面的距離為

A．1           B．2               C．3                 D．4

10．將正方體的六個面染色，有4種不同的顏色可供選擇，要求相鄰的兩個面不能染同一顏色，則不同的染色方法有

A．256種         B．144種         C．120種        D．96種

11．已知是方程的解, 是方程的解,函數，則

A．       B．

C．     D．

12．過點P（1,1）作一直線與拋物線交于A、B兩點，過A、B兩點分別作拋物線的切線，設兩切線的交點為M，則點M的軌跡方程為

A.      B.     C.       D.

13. 等差數列的前n項和為，若，則數列的公差d =      .

14．（理）設三個正態分布、

和N()（＞0）的

密度函數圖象如圖所示，則

μ₁，μ₂，μ₃按從小到大的順序排列是             

σ₁，σ₂，σ₃按從小到大的順序排列是              

15. 給出平面區域G為區域（包含的邊界），其中A(5,3),B(2,1),C(1,5)．若使目標函數取得最大值的最優解有無窮多個．則實數的值為                                      

16.如果實數滿足關系，那么滿足的實數的取值范圍是        。

17．(本小題滿分12分)在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足（2a－c）cosB=bcosC.（Ⅰ）求角B的大��；

   （Ⅱ）設的最大值是5，求k的值.

18．(本小題滿分12分) 如圖：D、E分別是正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的棱AA₁、B₁C₁的中點，且棱AA₁=8，AB=4，

(1)求證：A₁E∥平面BDC₁

(2)在棱AA₁上是否存在一點M，使二面角M－BC₁－B₁的大小為60°，若存在，求AM的長，若不存在，說明理由.

19．(本小題滿分12分) 已知函數的圖像關于原點成中心對稱 ，設函數．

(1)求的單調區間;                                                              

(2)已知對任意恒成立．求實數的取值范圍(其中是自然對數的底數)．

20.(本小題滿分12分) 一個口袋中裝有大小相同的個紅球（≥5且）和5個白球，一次摸獎從中摸兩個球，兩個球的顏色不同則為中獎.摸一次中獎的概率為。

(1)記三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率為.試問當n等于多少時，的值最大？

(2)在(1)的條件下，將5個白球全部取出后，對剩下的n個紅球全部作如下標記：記上號的有個（=1,2,3,4），其余的紅球記上0號，現從袋中任取一球.ξ表示所取球的標號，求ξ的分布列、期望和方差.

21．(本小題滿分12分)已知F₁,F₂是橢圓的左、右焦點,點P（-1，）在橢圓上,線段PF₂與軸的交點M滿足．

  (1)求橢圓的標準方程;

(2)過F₁作不與軸重合的直線,與圓相交于A,B．并與橢圓相交于C,D．當,且時,求△F₂CD的面積S的取值范圍．

22. (本小題滿分14分)已知點P在曲線上，設曲線C在點P處的切線為，若與函數的圖像交于點A，與x軸交于點B，設點P的橫坐標為t，設A、B的橫坐標分別為、

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）設數列數列滿足，求和的通項公式；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當

高三第13次月考數學（理科）答案

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

B

C

B

C

C

C

A

D

A

D

13、     3                      14、μ₂＜μ₁＜μ₃   ,   σ₁＜σ₃＜σ₂

15、                           16、 

17、解：（I）∵(2a－c)cosB=bcosC，∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC

即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)

∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA，又∵0<A<π,∴sinA≠0.∴cosB= 

∵0<B<π，∴B=.…………………………………………………………6分

（II）=4ksinA+cos2A =－2sin²A+4ksinA+1，A∈（0，）

設sinA=t，則t∈.則=－2t²+4kt+1=－2(t－k)²+1+2k²,t∈ 

∵k>1，∴t=1時，取最大值.依題意得，－2+4k+1=5，∴k=.……………12分

18、解：【方法一】(1)證明：在線段BC₁上取中點F，連結EF、DF

則由題意得EF∥DA₁，且EF=DA₁，∴四邊形EFDA₁是平行四邊形

∴A₁E∥平面BDC₁                              …6分

(2)由A₁E⊥B₁C₁，A₁E⊥CC₁，得A₁E⊥平面CBB₁C₁，過點E作

EH⊥BC₁于H，連結A₁H，則∠A₁HE為二面角A₁－BC₁－B₁的平面角        …8分

在Rt△BB₁C₁中，由BB₁=8，B₁C₁=4，得BC₁邊上的高為，∴EH=，

又A₁E=2,∴tan∠A₁HE==＞∴∠A₁HE＞60°，                    …11分

∴M在棱AA₁上時，二面角M－BC₁－B₁總大于60°，故棱AA₁上不存在使二面角M－BC₁－B₁的大小為60°的點M.                                                    …12分

【方法二】建立如圖所示的空間直角坐標系，題意知B(－2,0,0), D(2,40),A₁(2,8,0), C₁(0,8,2)，B₁(－2,8,0), E(－1,8,),=(－4,－4,0),  =(－2,4,2),  =(－3,0, ),

=(－4,－8, 0),   =(－2,0, 2),=(0,8,0),   =(2,8, 2).                

(1)證明：∵=2(+)∴A₁E∥平面BDC₁                           ……………………6分

(2)設=（x,y,1）為平面A₁BC₁的一個法向量，則，且，即

解得∴=（,,1），同理，設=（x,y,1）為平面

B₁BC₁的一個法向量，則，且，即解得

∴=（－,0,1），∴cos<,>==－

∴二面角A₁－BC₁－B₁為arccos. 即arctan,又∵＞

∴二面角A₁－BC₁－B₁大于60°， ∴M在棱AA₁上時，二面角M－BC₁－B₁總大于60°，故棱AA₁

上不存在使二面角M－BC₁－B₁的大小為60°的點M.             ………………………12分

19、解: (1) 由已知可得C=0, ∴

, 令,得．列表如下:

(0,1)

-

-

+

單調減

單調減

單調增

所以的單調增區間為,單調減區間為和……………6分

   (2)在兩邊取對數,得．而．所以

由(1)知當時,．所以．……………………12分

20、解：(1)一次摸獎從個球中任取兩個，有種方法。它們是等可能的，其中兩個球的顏色不同的方法有種，一次摸獎中獎的概率p        ……2分                       

設每次摸獎中獎的概率為p，三次摸獎中（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率是f(p)= ，f’(p)=,故 f(p)在上為增函數,f(p)在上為減函數， ……4分

（用重要不等式確定p值的參照給分）

∴當時f(p)取得最大值，即，解得或（舍去），則當時，三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率最大.         …6分

(2)由(1)可知：記上0號的有10個紅球，從中任取一球，有20種取法，它們是等可能的故ξ的分布列是

ξ

0

1

2

3

4

………………8分

Eξ=0×+1×+2×+3×+4× =                        …………………10分

Dξ=(0－)²×+(1－)²×+(2－)²×+(3－)²×+(4－)²× = ………………12分

21、解：(1):∵   ∴M是線段PF₂的中點．

∴OM是△PF₁F₂的中位線．又OM⊥F₁F₂．∴PF₁⊥F₁F₂．

∴  解得．

∴橢圓方程為． …………………………………………………………4分

   (2)設方程為,

由  得

…………………………………………6分

由得．

由 得   設．

    則   ………………9分

    設, 則

    關于在上是減函數．所以．…………………………12分

22、解：（Ⅰ），（1分） 又點P的坐標為，

∴曲線C在P點的切線斜率為，

則該切線方程為，……………………    2分

由

因此，  …………………………（4分）

（Ⅱ）

即 （6分）

①當；……………………（7分）

②當為公比等比數列，

    ………………………………（9分）

綜合①、②得 …………………（10分）

（Ⅲ）

………（11分）

故不等式  …………………………（14分）