2009年浙江高考預測參考題目(數學)
嘉善高級中學數學組提供
一.選擇題
1.對非零實數
，定義一種乘法運算“
”：
；
；
.若
，則
( ).
(A) 
(B)
(C) 
(D)
1. 解答:由
得: 
,
，所以
,所以
.
2.某班50名學生在一次百米測試中，成績全部
內，將測試結果按如下方式分成五組：每一組
；第二組
……第五組
．下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖. 且第一組,第二組,第四組的頻數成等比數列,
表示該班某兩位同學的百米測試成績，且
.則事件“
”的概率為( )
（A）
（B）
（C）
（D）
2.解答: 設第一組,第二組,第四組的頻數組成等比數列的公比為
，
則
,解得
.
由圖知，成績在
的人數為
人，成績在
的人數為
人..
若
時，有6種情況；
若
時，有種12種情況；
若一個在
另一個在
內時，共有24種情況.
所以基本事件總數為42種，事件“”所包含的基本事件個數有24種.
∴
3.已知
，
是橢圓上關于原點對稱的兩點，
是橢圓上任意一點且直線
的斜率分別為
，
，則
的最小值為
,則橢圓的離心率為( ).
(A) 
(B)
(C) 
(D)
3.解答:可以證明:
,所以
,
,
.
二、填空題
4.
、
是半徑為
的圓上的兩條互相垂直的半徑(
為圓心)，
是該圓上任一點，且
，則
．
4.解答:分別以
為
軸，則
，設
，則
，由，
，
，代入得
.
5. 已知現有編號為①②③④⑤的5個圖形,它們分別是兩個直角邊長為3、3的直角三角形；兩個邊長為3的正方形；一個半徑為3的圓.則以這些圖形中的三個圖形為一個立體圖形的三視圖的概率為 .
5.解答:
. ①②③；②③④； ③④⑤可構成一個立體圖形的三視圖.
6.設正方體的對稱軸組成的集合為
,對
,都有異面直線
使得
,所成的最小角為
,則
.
6.解答:
,
. 
.
三、解答題
7.設
分別為
的外心，
，
，動點
滿足，
,
（1）求點
的軌跡
。
（2）當為
的重心時，軌跡E與
軸兩個交點分別為
，
（位于下方）。動點M、N均在軌跡E上，且滿足
，試問直線
和
交點P是否恒在某條定直線
上？若是，試求出的方程；若不是，請說明理由。
7.解：（1）設
為軌跡E上任意一點,顯然A、B、C不共線，∴
。又設
∵則，
，得
點坐標為
，
∵
，∴ 
，∴的外心
為
由
①若
，表示焦點在
軸上的橢圓且出去兩點
；
②若
，表示焦點在
軸上的雙曲線且出去兩點；
（2）當為的重心時，軌跡的方程為：
。
設
：
，則
：
.
由
，
.
∴
的坐標為
∴
為：
聯立的方程，解得：
∴
.
即點
恒在定直線
：上.
8. 設
是函數
的一個極值點.
（1）求
的單調區間；
（2）設
，
,若存在
使得
成立，求
的取值范圍.
8.解：（1）
當
時，
或
，
.
單調減區間為
,
,單調增區間為
.
當
時，
或
，
.
單調減區間為
,
,單調增區間為
.
當
時，
, 單調減區間為,
.
（2）由（1）知，當時, 在區間
上的單調遞增，在區間
上單調遞減,而
,
,
.
那么在區間
上的值域是
在的值域為
,
若
，則一定存在使得
成立.
若
,則只要
或
，
由于
.
所以,
.解得:
.
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