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15. （本題滿分14分）已知向量，若，且

    （I）試求出和的值；    （II）求的值。

16. （本題滿分14分）已知等腰梯形PDCB中（如圖1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A為PB邊上一點，且PA=1，將△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD.

   （1）證明：平面PAD⊥平面PCD；  （2）試在棱PB上確定一點M，使截面AMC把幾何體分成的兩部分幾何體的體積之比。

17. （本題滿分15分）設橢圓C：的左焦點為F，上頂點為A，過點A與AF垂直的直線分別交橢圓C與x軸正半軸于點P、Q，且.   

⑴求橢圓C的離心率；    ⑵若過A、Q、F三點的圓恰好與直線l：相切，求橢圓C的方程.

18. （本題滿分15分）某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規則的非農業用地規劃建成一個矩形高科技工業園區。已知，且，曲線段OC是以點O為頂點且開口向右的拋物線的一段。如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB、BC上，且一個頂點落在曲線段OC上，問應如何規劃才能使矩形工業園區的用地面積最大？并求出最大的用地面積（精確到0.1km²）

19. （本題滿分16分）已知數列{a_n}中，a₁＝，點(n，2a_n＋1－a_n)(n∈N^*)在直線y＝x上，（1）計算a₂，a₃，a₄的值；（2）令b_n＝a_n＋1－a_n－1，求證：數列{b_n}是等比數列；（3）設S_n、T_n分別為數列{a_n}、{b_n}的前n項和，是否存在實數λ，使得數列{}為等差數列？若存在，試求出λ．的值；若不存在，請說明理由．

20. （本題滿分16分）設、是函數的兩個極值點.

（I）若，求函數的解析式；

（II）若，求的最大值;

（III）設函數，，當時，

求證：

第Ⅱ卷附加題部分

附加題部分包含選做題（從4題中選做2題）、必做題（共2題），滿分40分，考試時間30分。

1.選修4-1幾何證明選講

如圖，已知為圓O的直徑，直線與圓O相切于點，直線與弦垂直并相交于點，與弧相交于，連接,,.

（1）求證：;

（2）求。

2.選修4-2：矩陣與變換

設數列滿足，且滿足，試求二階矩陣。

3.選修4-4：坐標系與參數方程

求經過極點三點的圓的極坐標方程。

4.選修4-5：不等式選講

已知實數滿足，試證明。

5．（本小題滿分10分）已知數列中，a_n=n（n+1）（n+2）.又S_n=kn（n+1）（n+2）（n+3），試確定常數k，使S _n恰為的前n項的和，并用數學歸納法證明你的結論.

6.用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，設事件表示“五位數為奇數”，事件表示“萬位上的數字為2或4”。

（1）試通過計算說明：事件和是否為相互獨立事件？

（2）求。

數學模擬試卷答案

1．   2． 80   3．    4．1－i   5．  6．m＝0，n＝1     7．15

8．  9．2550  10．①  ③    11．（1）、（2）、（3） 12．－2008   13．

14．72

15、解：解：（I）       

    即             

    （II）     

    又            

16、解：（1）證明：依題意知：

   （2）由（I）知平面ABCD

       ∴平面PAB⊥平面ABCD.                       

     在PB上取一點M，作MN⊥AB，則MN⊥平面ABCD，

       設MN=h

       則

       要使

       即M為PB的中點.

17、 ⑴解：設Q（x₀，0），由F（-c，0）

A（0，b）知

    設，

得

因為點P在橢圓上，所以

整理得2b²=3ac，即2(a²－c²)=3ac，,故橢圓的離心率e=

⑵由⑴知， 于是F（－a，0） Q，

△AQF的外接圓圓心為（a，0），半徑r=|FQ|=a

所以，解得a=2，∴c=1，b=，所求橢圓方程為

18、解：以O為原點，OA所在直線為y軸建立直角坐標系如圖，依題意可設拋物線方程為，且C（4，2）

故曲線段OC的方程為

設是曲線段OC上的任意一點，則在矩    形PQBN中，

    工業區面積      

    ，令得

    當時，，S是y的增函數

    當時，，S是y的減函數           

    時，S取到極大值，此時

    ，故       

    時，         

    所以，把工業園區規劃成長為，寬為的矩形時，

    工業園區的面積最大，最大面積約為        

19、解：(1)由題意，2a_n＋1－a_n＝n，又a₁＝，所以2a₂－a₁＝1，解得a₂＝，

同理a₃＝，a₄＝．

(2)因為2a_n＋1－a_n＝n，所以b_n＋1＝a_n＋2－a_n＋1－1＝－a_n＋1－1＝，

b­_n＝a_n＋1－a_n－1＝a_n＋1－(2a_n＋1－n)－1＝n－a_n＋1－1＝2b_n＋1，即＝

又b₁＝a₂－a₁－1＝－，所以數列{b_n}是以－為首項，為公比的等比數列．

(3)由(2)得，b_n＝－×()＝－3×()，T_n＝＝3×()－．

又a_n＋1＝n－1－b_n＝n－1＋3×()，所以a_n＝n－2＋3×()ⁿ，

所以S_n＝－2n＋3×＝＋3－．

由題意，記c_n＝．要使數列{c_n}為等差數列，只要c_n＋1－c_n為常數．

c_n＝＝＝＋(3－λ)×，

c_n－1＝＋(3－λ)×，則c_n－c_n－1＝＋(3－λ)×(－)．故當λ＝2時，c_n－c_n－1＝為常數，即數列{}為等差數列．

20、 解（I）∵，∴          

依題意有，∴.                          

解得，∴. .                             

    （II）∵,

依題意，是方程的兩個根，且，

        ∴.

        ∴，∴.

        ∵∴.

        設，則.

        由得，由得.

        即：函數在區間上是增函數，在區間上是減函數，

        ∴當時，有極大值為96，∴在上的最大值是96，

       ∴的最大值為.                                                      

（III） 證明：∵是方程的兩根，

∴.                                               

∵，，∴.

∴

∵，即∴                                           ∴

.                                    

∴成立.