Question

7．如圖所示，有一長度為L=1m的斜面AB，斜面傾角θ=37°，斜面底端B與一繃勁的水平傳送帶的水平部分相距很近，水平傳送帶足夠長，并始終以v=4m/s的速率運動，運動方向如圖所示．一物體從斜面頂端A由靜止釋放，物體與斜面之間的動摩擦因數μ₁=0.5，物體與傳送帶之間的動摩擦因數為μ₂=0.1，且物體從斜面底端B運動到傳送帶上的短暫過程，其速度大小不改變．已知重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）物體運動到斜面底端B時的速度v_H的大小；
（2）物體從A點開始運動到與相對傳送帶剛好靜止的過程中，所經歷的而時間t；
（3）物體在傳送帶上相對傳送帶滑動的距離x．

Answer 1

分析 （1）．在A到B的過程中，根據牛頓第二定律可求得物體在AB段的加速度，由速度位移公式可求解物體到B點的速度；
（2）．由于v_B＜v，所以物體在傳送帶上加速運動直到二者速度相同，根據運動學速度時間公式可求時間；
（3）．物體在傳送帶上與傳送帶相對滑動過程中，分別由運動學公式求出物體和傳送帶發生的位移，二者之差即相對滑動距離．

解答 解：（1）在A到B的過程中，設物體的加速度為${a}_{1}^{\;}$，則有
$mgsinθ-{F}_{f}^{\;}=m{a}_{1}^{\;}$
${F}_{N}^{\;}=mgcosθ$
${F}_{f}^{\;}=μ{F}_{N}^{\;}$
${v}_{B}^{2}=2{a}_{1}^{\;}L$
聯立以上各式解得：${v}_{B}^{\;}=2m/s$
（2）設物體在斜面上運動時間為${t}_{1}^{\;}$，由于${v}_{B}^{\;}＜v$，物體在傳送帶上加速運動，設加速度大小為${a}_{2}^{\;}$，滑動時間為${t}_{2}^{\;}$，則
${v}_{B}^{\;}={a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}$
${μ}_{2}^{\;}mg=m{a}_{2}^{\;}$
$v={v}_{B}^{\;}+{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}$
$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}$
聯立以上各式解得：t=3s
（3）物體在傳送帶上與傳送帶相對滑動過程中，設物體通過的距離為${x}_{1}^{\;}$，傳送帶通過的距離是${x}_{2}^{\;}$，則
${x}_{1}^{\;}={v}_{B}^{\;}{t}_{2}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{2}$
${x}_{2}^{\;}=v{t}_{2}^{\;}$
$x={x}_{2}^{\;}-{x}_{1}^{\;}$
聯立以上各式解得：x=2m
答：（1）物體運動到斜面底端B時的速度v_H的大小為2m/s；
（2）物體從A點開始運動到與相對傳送帶剛好靜止的過程中，所經歷的而時間t為3s；
（3）物體在傳送帶上相對傳送帶滑動的距離x為2m

點評 本題關鍵分析物體的運動狀態，由牛頓第二定律和運動學公式聯立列式求解，難度中檔．