Question

12．如圖所示，以O為圓心、半徑為R的圓形區域內存在垂直圓面向里、磁感應強度為B的勻強磁場，一粒子源位于圓周上的M點，可向磁場區域內垂直磁場沿各個方向發射質量為m、電荷量為-q的粒子，不計粒子重力，N為圓周上另一點，半徑OM和ON間的夾角θ，且滿足tan$\frac{θ}{2}$=0.5．
（1）若某一粒子以速率v₁=$\frac{qBR}{m}$，沿與MO成60°角斜向上方向射入磁場，求此粒子在磁場中運動的時間；
（2）若某一粒子以速率v₂，沿MO方向射入磁場，恰能從N點離開磁場，求此粒子的速率移v₂；
（3）若由M點射人磁場各個方向的所有粒子速率均為v₂，求磁場中有粒子通過的區域面積．

Answer 1

分析 （1）某一粒子以速率v₁=$\frac{qBR}{m}$，沿與MO成60°角斜向上方向射入磁場，由半徑公式知，該粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑等于磁場區域的半徑，由幾何關系知道，該粒子的軌跡和偏轉角均能求出，從而求出該粒子運動的時間．
（2）某一粒子以速率v₂，沿MO方向射入磁場，恰能從N點離開磁場，由幾何關系求得其做勻速圓周運動的半徑，由洛侖茲力提供向心力求出入射速度v₂．
（3）若由M點射人磁場各個方向的所有粒子速率均為v₂，這些粒子在磁場中有相同的半徑r₂，則圓心軌跡是以M為圓心、半徑為r₂的圓．試著畫出極端情況下粒子能達到的區域，從而把粒子能到達的整個區域面積求出來．

解答 解：（1）粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，設軌跡半徑為r₁，由牛頓第二定律可得$q{v}_{1}B=\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$
  解得：${r}_{1}=\frac{m{v}_{1}}{qB}=R$
  粒子沿與與MO成60°方向攝入磁場，設粒子從區域邊界P射出，其運動軌跡如圖所示．由圖中幾何關系可知粒子軌跡
  所對應的圓心   角為α=150 
  方法1：故粒子在磁場中的運動的時間$t=\frac{α{r}_{1}}{{v}_{1}}=\frac{mα}{qB}=\frac{5mπ}{6qB}$
  方法2：粒子運動周期：$T=\frac{2πm}{Bq}$
  粒子在磁場中的運動的時間：$t=\frac{{{{150}°}}}{{{{360}°}}}T$=$\frac{5πm}{6qB}$
  得：t=$\frac{5πm}{6qB}$
（2）粒子以速率v₂沿MO方向射入磁場，在磁場中做勻速圓周運動，恰好從N點離開磁場，其運動軌跡如圖，設
  粒子軌跡半徑為r₂，由圖中幾何關系可得：${r}_{2}=Rtan\frac{θ}{2}=\frac{1}{2}R$ 
  由牛頓第二定律可得：$q{v}_{2}B=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{{r}_{2}}$
  解得：粒子的速度：${v}_{2}=\frac{qB{r}_{2}}{m}=\frac{qBR}{2m}$
（3）（5分）粒子沿各個方向以v₂進入磁場做勻速圓周時的軌跡半徑都為r₂，且不變．由圖可知，粒子在磁場中 通過的面積S等于以O₃為圓心的扇形MO₃O的面積S₁、以M為圓心的扇形MOQ的面積S₂和以O點為圓心的圓弧
  MQ與直線MQ圍成的面積S₃之和．
  ${S_1}=\frac{1}{2}π{（\frac{R}{2}）^2}=\frac{{π{R^2}}}{8}$，${S_2}=\frac{1}{6}π{R^2}$，${S}_{3}=\frac{1}{6}π{R}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^{2}$     
  所以：$S=\frac{11}{24}π{R^2}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{R^2}$  
答：（1）若某一粒子以速率v₁=$\frac{qBR}{m}$，沿與MO成60°角斜向上方向射入磁場，此粒子在磁場中運動的時間為$\frac{5πm}{6qB}$．
（2）若某一粒子以速率v₂，沿MO方向射入磁場，恰能從N點離開磁場，此粒子的速率為$\frac{qBR}{2m}$．
（3）若由M點射人磁場各個方向的所有粒子速率均為v₂，磁場中有粒子通過的區域面積為$\frac{11}{24}π{R}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^{2}$．

點評 本題的難點在第三問，要找到粒子能到達的區域，首先要考慮的是粒子的偏轉方向--順時針；其次要考慮的極端情況①從M點豎直向上射出，則可以做完整的圓周運動．②然后把這個完整的圓繞M點轉動180°，則該圓與磁場區域公共部分，就是粒子能達到的區域．