Question

4．如圖所示，質量為m，邊長為l的正方形平板與彈簧相連，彈簧的勁度系數為k，另一端固定于地面，平板處于平衡狀態．質量為m的第一個小球從平臺以一定速度垂直于平板的左邊緣水平拋出，并與平板發生完全非彈性碰撞（設平臺與板間高度差為h，拋出點在平板的左邊緣正上方）．隔一段時間后，以相同速度拋出第二個小球．（假定在任何情況下平板始終保持水平，忽略平板在水平方向上的運動，且為方便計算起見，設h=3$\frac{mg}{k}$）
（1）求第一個小球落到平臺上形成的振子系統的周期和頻率；
（2）在第二個小球能與平板不發生碰撞的情況下，其拋出速度的最小值為多少？
（3）在（2）的情況下，兩小球拋出的時間差是多少？

Answer 1

分析 （1）根據彈簧振子的周期公式T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$，m是振子的質量，來求振子系統的周期，由f=$\frac{1}{T}$求頻率．
（2）研究第一個球的運動過程：由平拋運動的規律求出小球落在木板上時豎直分速度，由動量守恒定律求出球與木板碰后的共同速度，從而得到振幅，根據旋轉參考矢量與y軸負方向的夾角滿足的條件求解．
（3）由下落的高度求出第一個小球下落到平板的時間．由簡諧運動的規律求出碰撞后平板從原平衡位置壓縮到最低位置的時間，結合周期性求解兩小球拋出的時間差．

解答 解：（1）碰撞前后小球與平板（總質量為2m一起在新的平衡位置上下做簡諧振動，如圖中虛線所示，攏子系統的周期為 T=2π$\sqrt{\frac{2m}{k}}$
振子系統的頻率為 γ=$\frac{1}{T}$=$\frac{1}{2π}$$\sqrt{\frac{k}{2m}}$
（2）碰撞前，第一個小球在豎直方向的速度為 v_y=$\sqrt{2gh}$
發生完全彈性碰撞，豎直方向動量近似守恒，取向下為正方向，則有 mv_y=2mv_y′
則碰撞后平板運動的速度為 v_y′=$\frac{1}{2}{v}_{y}$=$\sqrt{\frac{1}{2}gh}$
振子的角頻率ω=$\frac{2π}{T}$=$\sqrt{\frac{k}{m}}$
振子振幅為 A=$\sqrt{\frac{（{v}_{y}′）^{2}}{ω{\;}^{2}}+（\frac{mg}{k}）^{2}}$=2$\frac{mg}{k}$
 
旋轉參考矢量與y軸負方向的夾角滿足
  cosα=$\sqrt{\frac{mg}{mg+kh}}$=$\frac{1}{2}$，則 α=$\frac{π}{3}$
設析運動到最低點位置時第二個小球正好下落到這一高度，則第二個小球下落用時
   t=$\sqrt{\frac{2（h+\frac{mg}{k}+A）}{g}}$=2$\sqrt{\frac{3m}{k}}$
由此可以求出兩者不發生碰撞時，第二個小球的最小拋出速度為 v₀=$\frac{l}{t}$=$\frac{l}{6}$$\sqrt{\frac{3k}{m}}$
（3）第一個小球下落到平板用時 t₁=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{6m}{k}}$
碰撞后平板從原平衡位置壓縮到最低位置用時 t₂=$\frac{π-α}{ω}$=$\frac{2π}{3}$$\sqrt{\frac{2m}{k}}$
設兩球拋出的時間相差△t，則△t+t=t₁+t₂
則得△t=t₁+t₂-t=$\sqrt{\frac{6m}{k}}$+$\frac{2π}{3}$$\sqrt{\frac{2m}{k}}$+2$\sqrt{\frac{3m}{k}}$
考慮到板往復一次用時T=2π$\sqrt{\frac{2m}{k}}$，第二個小球拋出時間可以是振子系統運動時間大于一個周期后，則兩小球拋出的時間差為
△t=$\sqrt{\frac{6m}{k}}$+（2n+$\frac{2}{3}$）π$\sqrt{\frac{2m}{k}}$+2$\sqrt{\frac{3m}{k}}$（n取非負整數）
答：（1）第一個小球落到平臺上形成的振子系統的周期為2π$\sqrt{\frac{2m}{k}}$，頻率為$\frac{1}{2π}$$\sqrt{\frac{k}{2m}}$；
（2）在第二個小球能與平板不發生碰撞的情況下，其拋出速度的最小值為$\frac{l}{6}$$\sqrt{\frac{3k}{m}}$；
（3）在（2）的情況下，兩小球拋出的時間差是$\sqrt{\frac{6m}{k}}$+（2n+$\frac{2}{3}$）π$\sqrt{\frac{2m}{k}}$+2$\sqrt{\frac{3m}{k}}$（n取非負整數）．

點評 解決本題時要分析小球和振子的運動情況，掌握振子的周期公式，明確簡諧運動的周期性，關鍵要分析隱含的臨界條件．