Question

9．如圖所示，滑塊可以在水平放置的光滑固定長導軌上自由滑動，小球通過一不可伸縮的輕繩與滑塊上的懸點O相連．滑塊和小球的質量分別為m和2m，輕繩長為l，開始時，小球與滑塊靜止，且處于圖示位置，輕繩呈水平拉直狀態．
（1）將小球由靜止釋放，若小球到達最低點時滑塊剛好被一表面涂有強黏性物質的固定擋板極快地粘�。�求：
（1-1）小球繼續向左擺動達到最高點時，輕繩與豎直方向的夾角．
（1-2）擋板對滑塊的沖量．
（1-3）小球從釋放到第一次達到最低點的過程中，輕繩拉力對小球做的功．
（2）將小球由靜止釋放，若長軌道上無擋板，求小球在下落過程中速率的最大值．（本題可用TI圖形計算器）

Answer 1

分析 （1）（1-1）小球由靜止釋放后的過程中，小球與滑塊組成的系統水平方向不受外力，水平方向動量守恒，系統的機械能也守恒，由此列式求解小球到達最低點時的速度．小球到達最低點時滑塊剛好被擋板極快地粘住，之后小球繼續向左擺動達到最高點時，由機械能守恒定律求輕繩與豎直方向的夾角．
（1-2）由動量定理求擋板對滑塊的沖量．
（1-3）由動能定理求輕繩拉力對小球做的功．
（2）若長軌道上無擋板，由動量守恒定律、機械能守恒定律和速度關系列式求解．

解答 解：（1-1）小球與滑塊組成的系統水平方向無外力動量守恒，設小球與滑塊達到最低點的速度分別為v₁、v₂，取水平向左為正方向，在小球下擺過程，由動量守恒定律有：
  2mv₁+mv₂=0，得 2v₁=-v₂．
由機械能守恒定律有
   $\frac{1}{2}$•2mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²=2mgl，
解得：v₁²=$\frac{2}{3}$gl，v₂=-2$\sqrt{\frac{2gl}{3}}$
小球上擺的過程，由機械能守恒定律有：
    $\frac{1}{2}$•2mv₁²=2mgl（1-cosθ），
解得：cosθ=$\frac{2}{3}$，θ=cos^-1$\frac{2}{3}$
（1-2）對滑塊，由動量定理有 I=0-mv₂=2m$\sqrt{\frac{2gl}{3}}$
（1-3）對小球，由動能定理得
-W=2mgl-$\frac{1}{2}$•2mv₁²，W=-$\frac{4}{3}$mgl
（2）設小球下落到繩與導軌夾角為α時，速度為v，其水平分速度為v₁，豎直分速度為v₂，此時滑塊速度為v₃，由水平方向動量守恒得：
  2mv₁+mv₃=0，v₃=-2v₁
沿繩方向兩端速度相等得：v₂sinα-v₁cosα=v₃cosα，
解得：v₂=3v₁cotα，
再由機械能守恒得：$\frac{1}{2}$mv₃²+$\frac{1}{2}$•2m（v₁²+v₂²）=2mglsinα，
解得：v₁²=$\frac{2glsi{n}^{3}α}{3si{n}^{2}α+9co{s}^{2}α}$
v²=v₁²+v₂²=2glsinα$\frac{si{n}^{2}α+9co{s}^{2}α}{3si{n}^{2}α+9co{s}^{2}α}$
利用圖形計算器的函數功能，可以得：α=51.38°，v_max=1.098$\sqrt{gl}$
答：（1-1）小球繼續向左擺動達到最高點時，輕繩與豎直方向的夾角是cos^-1$\frac{2}{3}$．
（1-2）擋板對滑塊的沖量是2m$\sqrt{\frac{2gl}{3}}$．
（1-3）小球從釋放到第一次達到最低點的過程中，輕繩拉力對小球做的功是-$\frac{4}{3}$mgl．
（2）將小球由靜止釋放，若長軌道上無擋板，小球在下落過程中速率的最大值是1.098$\sqrt{gl}$．

點評 本題關鍵要抓住滑塊被擋板粘住前系統的水平方向動量守恒，系統的機械能守恒、滑塊被擋板粘住后小球的機械能守恒，滑塊與擋板碰撞前后，小球的速度不變．