Question

15．如圖所示，水平地面與一半徑R=0.5m的豎直光滑圓弧上方．一質量為m=0.1kg的小球以v₀=$\sqrt{3}$m/s的速度從距地面高度h=0.45m的水平平臺邊緣上的A飛出，小球在空中運動至B點時，恰好沿圓弧軌道在該點的切線方向滑入軌道．小球運動過程中空氣阻力不計，g=10m/s²，求：
（1）圓弧BC段所對的圓心角θ；
（2）小球滑到C點時，對圓軌道的壓力；
（3）判斷小球是否能夠到達圓弧軌道的最高點D點并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據平拋運動的規律求小球到達B點的豎直分速度，由幾何關系求出B點速度與水平方向的夾角，即為圓弧BC所對的圓心角；
（2）先根據動能定理求C點速度，再根據牛頓第二定律求對軌道的壓力；
（3）小球恰能到達最高點的速度$\sqrt{gR}$，根據動能定理求D點速度，若大于等于$\sqrt{gR}$則能通過D，若小于$\sqrt{gR}$，則不能通過D點；

解答 解：（1）小球從A到B做平拋運動，B點的豎直分速度${v}_{By}^{\;}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×0.45}=3m/s$
B點速度與水平方向的夾角等于BC圓弧所對的圓心角θ，根據幾何關系$tanθ=\frac{{v}_{By}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$
解得：θ=60°
（2）B點速度${v}_{B}^{\;}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{By}^{2}}=\sqrt{（\sqrt{3}）_{\;}^{2}+{3}_{\;}^{2}}=2\sqrt{3}m/s$
從B到C根據動能定理，有
$mg（R-Rcosθ）=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數據解得：${v}_{C}^{\;}=\sqrt{{v}_{B}^{2}+2gR（1-cosθ）}=\sqrt{12+20×0.5×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{17}m/s$
在C點，由向心力公式得：
${F}_{NC}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入數據解得：${F}_{NC}^{\;}=mg+m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}=1+0.1×\frac{17}{0.5}=4.4N$
根據牛頓第三定律：${F}_{NC}^{′}={F}_{NC}^{\;}=4.4N$
（3）小球恰能過最高點D時：$mg=m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
解得：${v}_{D}^{\;}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.5}=\sqrt{5}m/s$
從C到D根據動能定理有：$-mg2R=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
代入數據得：${v}_{D}^{\;}=\sqrt{{v}_{C}^{2}-4gR}=\sqrt{17-40×0.5}=\sqrt{-3}m/s$，即方程無解，所以小球不能到達圓弧軌道的最高點D點
答：（1）圓弧BC段所對的圓心角θ為60°；
（2）小球滑到C點時，對圓軌道的壓力為4.4N；
（3）小球不能能夠到達圓弧軌道的最高點D點

點評 本題考查了動能定理、牛頓第二定律和平拋運動的綜合，難度不大，運用動能定理解題，關鍵選擇好研究的過程，分析過程中有哪些力做功，結合動能定理列式求解．