Question

5．如圖所示，一長木板在水平地面上向右運動，某時刻將一相對于地面靜止的物塊（可視為質點）輕放到木板的右端．物塊和木板的質量相等，物塊與木板的上表面之間有恒定的動摩擦因數，長木板與地面之間也有恒定的動摩擦因數，且物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．已知物塊放到木板上時木板的速度v₀=5.0m/s，物塊放在木板上先做勻加速運動，經t₁=0.50s速度達到v₁=1.0m/s時開始做勻減速運動，最終物塊停在木板上的中點位置．取重力加速度g=10m/s²，求：
（1）木板與地面間的動摩擦因數；
（2）木板的長度．

Answer 1

分析 （1）先根據加速度公式求出物塊放在木板上后先做加速運動的加速度，然后根據牛頓第二定律求出物塊與木板間的動摩擦因數，
由題意可知物塊所受摩擦力的方向變化，即為物塊與木板的速度大小相等的時刻，進而求出木板的加速度，然后根據牛頓第二定律求出木板與地面間的動摩擦因數；
（2）根據勻變速直線運動公式和牛頓第二定律求出物塊、木板勻加速和勻減速運動的位移，進而得出物塊和木板的總位移，根據二者位移的關系求出木板的長度．

解答 解：（1）物塊放在木板上后先做加速運動，其加速度：
a₁=$\frac{{v}_{1}}{{t}_{1}}$=$\frac{1.0}{0.50}$m/s²=2m/s²，
設物塊與木板間的動摩擦因數為μ₁，對物塊，根據牛頓第二定律有，
f₁=μ₁mg=ma₁，
解得：μ₁=0.20，
在t₁=0.50s時，物塊將由加速變為減速，表明其所受摩擦力的方向變化，即物塊與木板間的相對運動方向發生變化，因此t₁=0.50時物塊與木板的速度大小相等．
因此在t₁=0.50s時間內，木板的加速度：
a₂=$\frac{{v}_{0}-{v}_{1}}{{t}_{1}}$=$\frac{5-1}{0.50}$m/s²=8.0m/s²，
設木板與地面間的動摩擦因數為μ₂，
對于木板在t₁=0.50時間內，根據牛頓第二定律有：
μ₁mg+μ₂2mg=ma₂，
解得：μ₂=0.30．
（2）物塊在t₁=0.50s時間內的位移：
x₁₁=$\frac{{v}_{1}{t}_{1}}{2}$=$\frac{1.0×0.50}{2}$m=0.25m，
t₁=0.50s后做減速運動的加速度：
a₁′=μ₁g=2.0m/s²，
物塊減速運動的位移：
x₁₂═$\frac{{v}_{1}{t}_{1}}{2}$=$\frac{1.0×0.50}{2}$m=0.25m，
設在t₁=0.50s后木板做減速運動的加速度a₂′，
根據牛頓第二定律有
μ₂2mg-μ₁mg=ma₂′
解得：a₂′=4m/s²，
由于 a₂′＞a₁′，所以一定是木板的速度先減為0．
在整個運動過程中，物塊向右的位移
x₁=x₁₁+x₁₂=0.50m，
木板在t₁=0.50s時間內的位移
x₂₁=$\overline v$t₁=$\frac{{{v_0}+{v_1}}}{2}{t_1}$=1.5m，
在t₁=0.50s后的減速運動到靜止所過程的位移
x₂₂=$\frac{v_1^2}{2a'}$=0.125m，
在整個運動過程中，木板向右的位移
x₂=x₂₁+x₂₂=1.625m，
設木板長度為L，
依題意應有：$\frac{1}{2}$L=x₂-x₁=1.125m，
解得：L=2.25m．
答：（1）木板與地面間的動摩擦因數為0.30；
（2）木板的長度為2.25m．

點評 解決本題的關鍵理清物塊和木板在整個過程中的運動規律，結合牛頓第二定律和運動學公式綜合求解，本題分析兩個物體的運動規律是關鍵．