Question

19．一長木板在水平地面上運動，它與地面的動摩擦因數為0.3，在t=0時刻輕輕將一小物塊放到木板上，此時木板的對地速度v₁=5m/s，物塊與木板之間的動摩擦因數為0.2，經過t₁=0.5時，木板與物塊恰好共速．已知物塊與木板的質量相等，物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且物塊始終在木板上．取重力加速度的大小g=10m/s²，求
（1）物塊剛放到木板上時物塊加速度a₁與木板加速度a₂分別多大；
（2）從t=0時刻到t₁時，木板相對于木塊的路程多大；
（3）從t₁時刻到物塊與木板均停止運動時，物塊相對于木板的位移的大小．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律分別求物塊與木板的加速度
（2）根據運動學公式分別求出${t}_{1}^{\;}$時間內木板和物塊的位移，再求相對位移
（3）根據牛頓第二定律分別求出${t}_{1}^{\;}$時刻后，物塊和木板的位移，再求物塊相對于木板的位移的大小

解答 解：（1）物塊剛放到木板上時，根據牛頓第二定律
對木塊：${μ}_{1}^{\;}mg=m{a}_{1}^{\;}$，得${a}_{1}^{\;}={μ}_{1}^{\;}g=0.2×10=2m/{s}_{\;}^{2}$
對木板：${μ}_{1}^{\;}mg+{μ}_{2}^{\;}•2mg=m{a}_{2}^{\;}$，得${a}_{2}^{\;}={μ}_{1}^{\;}g+2{μ}_{2}^{\;}g=8m/{s}_{\;}^{2}$
（2）${t}_{1}^{\;}=0.5s$時，$v={a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}=1m/s$
物塊的位移：${x}_{1}^{\;}=\frac{v}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}×0.5=0.25m$
木板的位移：${x}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}+v}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{5+1}{2}×0.5=1.5m$
木板相對物塊的路程$△s={x}_{2}^{\;}-{x}_{1}^{\;}=1.25m$
（3）${t}_{1}^{\;}$時刻后，對物塊和木板組成的系統，如果兩者相對靜止，
由牛頓第二定律得：
${μ}_{2}^{\;}2mg=2ma′$
解得：$a′={μ}_{2}^{\;}g=3m/{s}_{\;}^{2}$
如果兩者相對靜止，則物塊受到的摩擦力：
$f=ma′=m×3＞{μ}_{1}^{\;}mg=2m$
則兩者不會相對靜止一起做勻減速運動，所以物塊和木板不能共速運動，物塊受摩擦力方向將發生變化，設物塊和木板的加速度大小分別為${a}_{1}^{′}$和${a}_{2}^{′}$
則由牛頓第二定律，對滑塊：${μ}_{1}^{\;}mg=m{a}_{1}^{′}$，得${a}_{1}^{′}={μ}_{1}^{\;}g=2m/{s}_{\;}^{2}$
對木板：${μ}_{2}^{\;}2mg-{μ}_{1}^{\;}mg=m{a}_{2}^{′}$，得${a}_{2}^{′}=4m/{s}_{\;}^{2}$
從t₁時刻到物塊與木板均停止運動時
物塊位移${x}_{1}^{′}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2{a}_{1}^{′}}=\frac{{1}_{\;}^{2}}{2×2}=0.25m$
木板的位移${x}_{2}^{′}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2{a}_{2}^{′}}=\frac{{1}_{\;}^{2}}{2×4}=0.125m$
物塊相對于木板的位移的大小$△x′={x}_{1}^{′}-{x}_{2}^{′}=0.125m$
答：（1）物塊剛放到木板上時物塊加速度${a}_{1}^{\;}$為$2m/{s}_{\;}^{2}$與木板加速度${a}_{2}^{\;}$為$8m/{s}_{\;}^{2}$；
（2）從t=0時刻到t₁時，木板相對于木塊的路程1.25m；
（3）從t₁時刻到物塊與木板均停止運動時，物塊相對于木板的位移的大小為0.125m

點評 本題考查了兩體多過程問題，分析清楚物體的運動過程是正確解題的關鍵，也是本題的易錯點，分析清楚運動過程后，應用加速度公式、牛頓第二定律、運動學公式即可正確解題．