Question

9．質量為m=1kg的小物塊從光滑的四分之一圓弧軌道的頂端A處無初速自由釋放．C為圓弧的最低點，圓弧CD段的圓心角θ=37°，圓弧軌道半徑R=4.0cm，粗糙斜面與光滑圓弧軌道在D點相切連接．設小物塊經過D點時為零時刻，在t=0.02s時刻小物塊經過E點，小物塊與斜面間的滑動摩擦因數為μ₁=$\frac{1}{4}$．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8），求
（1）小物塊第一次到達C點對圓弧軌道的壓力；
（2）斜面上DE間的距離；
（3）物塊第一次從A運動C過程中沿加速度水平分量最大值．
（4）小物塊在D點的速度．

Answer 1

分析 （1）由機械能守恒可求得物塊滑到C點時的速度，由向心力公式可求得C點對物塊的支持力，由牛頓第三定律可知物塊對C點軌道的壓力．
（2）、（4）根據機械能守恒定律求得物塊到達D點的速度，由牛頓第二定律求出物塊在DE段滑行時的加速度，再由位移公式求DE間的距離．
（3）物塊第一次從A運動C過程中，根據機械能守恒定律和向心力公式求出任一點支持力與半徑和豎直方向夾角的關系式，由牛頓第二定律和加速度分解得到加速度水平分量表達式，再由數學知識求解．

解答 解：（1）物塊第一次從A運動C過程中，根據機械能守恒定律可得：mgR=$\frac{1}{2}$mv_C²；
解得C點時的速度為 v_C=$\sqrt{2gR}$
在C點時，物塊由重力、支持力的合力提供向心力，則有 F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
可得，F_N=3mg=3×1×10N=30N
由牛頓第三定律可知，小物塊第一次到達C點對圓弧軌道的壓力大小為30N，方向豎直向下．
（2）、（4）物塊第一次從A運動D過程，由機械能守恒定律得
   mgRcosθ=$\frac{1}{2}$mv_D²；
可得v_D=$\sqrt{2gRcosθ}$=$\sqrt{2×10×0.04×cos37°}$=0.8m/s
物塊沿DE上滑的加速度大小為 a=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}$=g（sinθ+μcosθ）=10×（0.6+$\frac{1}{4}$×0.8）=8m/s²．
上滑到最高點的時間為 t₁=$\frac{{v}_{D}}{a}$=0.1s
所以斜面上DE間的距離為 S=v_Dt-$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=0.8×0.02-$\frac{1}{2}$×8×0.02²=0.0144m
（3）設物塊第一次從A運動C過程中，所在半徑與水平方向的夾角為α時，物塊的速度為v，所受的支持力大小為N．水平分加速度為a．
根據機械能守恒定律得 mgRsinα=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
根據牛頓第二定律得 N-mgsinα=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得 N=3mgsinα
則 a=$\frac{Ncosα}{m}$=3gsinαcosα=$\frac{3}{2}$gsin2α
當2α=90°，即α=45°時，a有最大值，且最大值為 a_max=$\frac{3}{2}$g=15m/s²．
答：
（1）小物塊第一次到達C點對圓弧軌道的壓力是30N；
（2）斜面上DE間的距離是0.0144m；
（3）物塊第一次從A運動C過程中沿加速度水平分量最大值是15m/s²．
（4）小物塊在D點的速度是0.8m/s．

點評 本題分析清楚物體運動過程是解題的前提，應用勻變速直線運動規律、動能定理與牛頓第二定律可以解題．關鍵要明確圓心運動向心力的來源，由物理規律列式水平分加速度的解析式，再求其最大值，這是常用的函數法，要學會運用．