Question

12．如圖甲所示，在光滑的水平面上有一有界勻強磁場區域，質量為m、電阻為R的矩形線圈abcd邊長分別為L和2L，線圈一半在磁場內，一半在磁場外，開始時磁感應強度大小為B．t=0時刻，磁感應強度開始均勻減小，線圈中產生感應電流，在安培力作用下運動，其v-t圖象如圖乙所示，圖中斜向虛線為過O點速度圖線的切線，數據由圖中給出，求：

（1）由開始到t₂時刻安培力所做的功．
（2）磁場的磁感應強度的變化率．
（3）t₂時刻回路的電功率．

Answer 1

分析 （1）運用動能定理，即可求解安培力做功；
（2）由法拉第電磁感應定律和歐姆定律結合求出t=0時刻線圈中感應電流的表達式．由v-t圖象上某一點切線斜率等于加速度，可求出t=0時刻線圈加速度．根據牛頓第二定律求得安培力，即可求出磁感應強度的變化率；
（3）線圈t₂時刻開始做勻速直線運動，分析在t₂時刻線圈可能處于位置狀態．若磁場沒有消失，但線圈完全進入磁場，由于磁感應強度開始均勻減小，會產生感生電動勢，由ab和cd兩邊切割磁感線產生的動生感應電動勢抵消．

解答 解：（1）線圈在水平面上僅受安培力的作用，
由開始到t₂時刻的過程中，由動能定理得：
W_安=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$-0．　
解得：安培力所做的功W_安=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
（2）從圖線可知，t=O時刻線圈速度為零，圖中斜向虛線為過0點速度曲線的切線，
所以加速度為：a=$\frac{{v}_{0}}{{t}_{1}}$；
此時刻線框中感應電動勢：E=$\frac{△∅}{△t}$=L²$\frac{△B}{△t}$；   
I=$\frac{E}{R}$=$\frac{{L}^{2}}{R}$•$\frac{△B}{△t}$；
由F=B₀IL=$\frac{{B}_{0}{L}^{3}}{R}$•$\frac{△B}{△t}$=ma；
可解得：$\frac{△B}{△t}$=$\frac{m{v}_{0}R}{{B}_{0}{t}_{1}{L}^{3}}$；
（3）線圈在t₂時刻開始做勻速運動，在t₂時刻應有兩種可能：
一是，線圈沒有完全進入磁場，磁場就消失，線框內沒有感應電流，回路電功率P=O；
二是，磁場沒有消失，但線圈完全進入磁場，盡管有感應電流，但各邊所受磁場力的合力為零，由ab和cd兩邊切割磁感線產生的感應電動勢抵消．
E′=$\frac{△∅}{△t}$=2L²$\frac{△B}{△t}$
回路電功率P=$\frac{E{′}^{2}}{R}$=$\frac{（2{L}^{2}\frac{△B}{△t}）^{2}}{R}$=$\frac{4{m}^{2}{v}_{0}^{2}R}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}{t}_{1}^{2}}$；
答：（1）由開始到t₂時刻安培力所做的功$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$．
（2）磁場的磁感應強度的變化率$\frac{m{v}_{0}R}{{B}_{0}{t}_{1}{L}^{3}}$．
（3）t₂時刻回路的電功率$\frac{4{m}^{2}{v}_{0}^{2}R}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}{t}_{1}^{2}}$．

點評 本題是電磁感應與速度圖象的綜合．對于圖象問題，我們要清楚某一點切線斜率的物理意義．關鍵要能把電磁感應與動力學和電路知識結合起來解決問題．