Question

6．光滑水平面上有一質量為M=2kg的足夠長的木板，木板上最有右端有一大小可忽略、質量為m=3kg的物塊，物塊與木板間的動摩擦因數μ=0.4，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．開始時物塊和木板都靜止，距木板左端L=2.4m處有一固定在水平面上的豎直彈性擋板P．現對物塊施加一水平向左外力F=6N，若木板與擋板P發生撞擊時間極短，并且撞擊時無動能損失，物塊始終未能與擋板相撞，求：
（1）木板第一次撞擊擋板P時的速度v為多少？
（2）木板從第一次撞擊擋板P到運動至右端最遠處所需的時間t₁及此時物塊距木板右端的距離x為多少？
（3）木板與擋板P會發生多次撞擊直至靜止，而物塊一直向左運動．每次木板與擋板P撞擊前物塊和木板都已相對靜止，最后木板靜止于擋板P處，求木板與物塊都靜止時物塊距木板最右端的距離x為多少？

Answer 1

分析 （1）木板受最大靜摩擦力產生的加速度和以整體為研究對象在拉力F作用下產生的加速度比較，確定木板做勻加速運動的加速度，然后根據速度位移關系求物體到達P點時的速度；
（2）分析木板的受力，根據牛頓第二定律，求木板勻減速運動的加速度，再根據速度時間關系求木板運動的時間，再根據時間求位移；
（3）在全過程中只有拉力和木板與物塊的摩擦力做功，根據動能定理求出物塊相對于木板時的位移

解答 解：（1）設木板靠最大靜摩擦力或滑動摩擦力產生的加速度為a_m，則：
a_m=$\frac{μmg}{M}$=6m/s²                            
若木板與物塊不發生相對運動，設共同加速度為a₁，則：
a₁=$\frac{F}{M+m}$=1.2m/s²       　 　 　 　 　 　 
因a₁＜a_m，所以木板與物塊靠靜摩擦力一起以加速度a₁運動       
根據勻變速直線運動的速度位移關系：v²=2a₁L                                   
解得木板第一次撞擊擋板P時的速度：v=2.4m/s                                  
（2）設木板第一次撞擊擋板P后向右運動時，物塊的加速度大小為a₂，根據牛頓第二定律有：
μmg-F=ma₂                               
解得物塊的加速度：a₂=2m/s²                                
因a₂＜a_m，所以在木板向右減速運動過程中，物塊一直向左減速，木板速度減為0時，木塊仍在向左運動．設木板第一次撞擊擋板P后運動到右端最遠處所需時間為t₁，則：
t₁=$\frac{v}{{a}_{m}}$=0.4s                                
設木板左端距擋板P的距離為X₁，則：${X}_{1}=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{m}}=0.48m$                         
設物塊相對地向左的位移為X₂，則：X₂=vt₁-$\frac{1}{2}$a₂t₁²=0.8m                   　 
此時物塊距木板右端的距離為：X=X₁+X₂=1.28m 
（3）木板最終靜止于擋板P處，設物塊距木板右端的距離為X_n，此過程中只有拉力和摩擦力做功，根據動能定理有：F（X_n+L）-μmgX_n=0 
解得：X_n=2.4m        
答：（1）木板第一次撞擊擋板P時的速度v為2.4m/s；
（2）木板從第一次撞擊擋板P到運動至有端最遠處所需的時間t₁為0.4s，此時物塊距木板右端的距離X為1.28m；
（3）木板與擋板P會發生多次撞擊直至靜止，而物塊一直向左運動．每次木板與擋板p撞擊前物塊和木板都已相對靜止，最后木板靜止于擋板P處，求木板與物塊都靜止時物塊距木板有端的距離X為2.4m

點評 處理本題的關鍵是用隔離法對物塊和木板進行受力分析，由牛頓第二定律求出各自的加速度，再運用運動學規律求解．正確的受力分析和做功分析是解決本題的關鍵