Question

9．如圖所示，飛行器P繞某星球做勻速圓周運動，星球相對飛行器的張角為θ，下列說法正確的是（　　）

• A． 軌道半徑越大，周期越長
• B． 若測得周期和張角，可得到星球的平均密度
• C． 軌道半徑越大，速度越大
• D． 若測得周期和軌道半徑，可得到星球的平均密度

Answer 1

分析 根據開普勒第三定律，分析周期與軌道半徑的關系；飛行器P繞某星球做勻速圓周運動，由星球的萬有引力提供向心力，根據萬有引力定律和幾何知識、密度公式可求解星球的平均密度

解答 解：A、根據開普勒第三定律$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=K，可知軌道半徑越大，飛行器的周期越長．故A正確；
B、設星球的質量為M，半徑為R，平均密度為，ρ．張角為θ，飛行器的質量為m，軌道半徑為r，周期為T．
對于飛行器，根據萬有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
由幾何關系有：R=rsin$\frac{θ}{2}$
星球的平均密度 ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$由以上三式知測得周期和張角，可得到星球的平均密度．故B正確；
C、根據衛星的速度公式v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，可知軌道半徑越大，速度越小，故C錯誤；
D、由G$\frac{mM}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$可得：M=$\frac{4π{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，可知若測得周期和軌道半徑，可得到星球的質量，但星球的半徑未知，不能求出星球的平均密度．故D錯誤
故選：AB

點評 本題關鍵掌握開普勒定律和萬有引力等于向心力這一基本思路，結合幾何知識進行解題．