Question

8．如圖所示，在以O為圓心，內外半徑分別為R₁和R₂的圓環區域內，存在垂直紙面的勻強磁場，R₁=R₀，R₂=3R₀，一電荷量為+q，質量為m的粒子從內圓上的A點進入該區域，不計重力．
（1）若粒子從OA延長線與外圓的交點C以速度v₁射出，方向與OA延長線成45°角，求磁感應強度的大小及粒子在磁場中運動的時間．
（2）若粒子從A點進入磁場，速度大小為v₂，方向不確定，要使粒子一定能夠從外圓射出，磁感應強度的大小應該如何取值？

Answer 1

分析 （1）由于粒子從OA延長線與外圓的交點C以速度v₁射出，則入射點與出射點連續是弦，因此弦的中垂線與射出速度的垂線交點即為軌道的圓心．從而由幾何關系可求出磁感應強度大小及運動的時間．
（2）若粒子從A點進入磁場，速度大小一定，方向不定，要使粒子一定能夠從外圓射出，粒子在磁場內的運動半徑應大于過A點的最大內切圓半徑，所以由軌道半徑從而求出最小磁感應強度．

解答  解：（1）由牛頓第二定律 $qBv=m\frac{{{v_1}^2}}{R}$①，
如圖1，由幾何關系粒子運動軌跡的圓心O′和半徑R
則有：R²+R²=（R₂-R₁）²，
聯立③④得磁感應強度大小$B=\frac{{\sqrt{2}m{v_1}}}{{2q{R_0}}}$，
粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期$T=\frac{2πR}{v_1}$，
由幾何關系確定粒子在磁場中運動的時間$t=\frac{1}{4}T$，
由④⑥⑦式，得 $t=\frac{{\sqrt{2}π{R_0}}}{{2{v_1}}}$，
（3）如圖2，為使粒子射出，則粒子在磁場內的運動半徑應大于過A點的最大內切圓半徑，該半徑為
${R_C}=\frac{{{R_2}+{R_1}}}{2}$②，
由①②，得磁感應強度應小于${B_c}=\frac{{m{v_2}}}{{2q{R_0}}}$，
答：（1）若粒子從OA延長線與外圓的交點C以速度v₁射出，方向與OA延長線成45°角，磁感應強度的大小為$\frac{{\sqrt{2}m{v_1}}}{{2q{R_0}}}$，粒子在磁場中運動的時間為$\frac{{\sqrt{2}π{R_0}}}{{2{v_1}}}$．
（2）若粒子從A點進入磁場，速度大小為v₂，方向不確定，要使粒子一定能夠從外圓射出，磁感應強度的大小應該小于$\frac{{m{v_2}}}{{2q{R_0}}}$．

點評 解決粒子做勻速圓周運動的步驟：定圓心、畫圓弧、求半徑．同時若粒子從A點進入磁場，速度大小一定而方向不定，要使粒子一定能夠從外圓射出，求磁感應強度應最大值，則粒子在磁場內的運動半徑應大于過A點的最小內切圓半徑．