Question

6．發射地球同步衛星時，先將衛星發射至距地面高度為h₁的近地軌道上，在衛星經過A點時點火，實施變軌，進入遠地點為B的橢圓軌道上，然后在B點再次點火，將衛星送入同步軌道，如圖所示，已知同步衛星的運動周期為T，地球的半徑為R，地球表面重力加速度為g．
（1）求出衛星在近地點A的加速度大小a；
（2）求出遠地點B距地面的高度h₂；
（3）列出計算衛星在橢圓軌道上的周期T'的表達式．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律以及萬有引力等于重力求出衛星在近地點A的加速度大小．
（2）根據萬有引力提供向心力求出遠地點B距地面的高度．
（3）根據開普勒第三定律求出衛星在橢圓軌道上的周期T'的表達式．

解答 解：（1）設地球的質量為M，在地球表面，物體的重力等于萬有引力，有：$mg=\frac{GMm}{R^2}$，
衛星在A點時，由牛頓第二定律得：$ma=\frac{GMm}{{{{（R+{h_1}）}^2}}}$，
由上述各式得：$a=\frac{R^2}{{{{（R+{h_1}）}^2}}}g$．
（2）B點位于同步衛星軌道上，衛星所受萬有引力提供向心力，有：$\frac{GMm}{{{{（R+{h_2}）}^2}}}=\frac{{4{π^2}m（R+{h_2}）}}{T^2}$，
得：$（R+{h_2}）=\root{3}{{\frac{{GM{T^2}}}{{4{π^2}}}}}=\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}$，
解得：h₂=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．
（3）由開普勒第三定律，得橢圓軌道上的周期表達式為：$\frac{{（R+{h_2}{）^3}}}{T^2}=\frac{{{{（{\frac{{2R+{h_1}+{h_2}}}{2}}）}^3}}}{{{T^'}^2}}$．
解得：T′=$\frac{（2R+{h}_{1}+{h}_{2}）T}{2（R+{h}_{2}）}\sqrt{\frac{2R+{h}_{1}+{h}_{2}}{2（R+{h}_{2}）}}$．
答：（1）衛星在近地點A的加速度大小為$\frac{{R}^{2}}{（R+{h}_{1}）^{2}}g$；
（2）遠地點B距地面的高度為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$；
（3）衛星在橢圓軌道上的周期T'的表達式為$\frac{（2R+{h}_{1}+{h}_{2}）T}{2（R+{h}_{2}）}\sqrt{\frac{2R+{h}_{1}+{h}_{2}}{2（R+{h}_{2}）}}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力，并能靈活運用．