Question

3．如圖所示，在水平面上固定一個半徑R=1.6m的$\frac{3}{4}$光滑圓弧軌道的工件，其圓心在O點，AOC連線水平，BOD連線豎直．在圓周軌道的最低點B有兩個質量分別為m₁=2kg，m₂=1kg的可視為質點的小球1和2，兩小球間夾有一個極短的輕彈簧，當彈簧儲存了E_P=90J的彈性勢能時鎖定彈簧．某時刻解除鎖定，彈簧將兩個小球彈開，重力加速度g=10m/s²，試求：
（1）兩小球脫離彈簧瞬間的速度的大小
（2）通過計算說明小球2第一次沿軌道上滑過程中能否到達D點？

Answer 1

分析 （1）根據動量守恒定律和機械能守恒定律列式后聯立求解即可；
（2）先假設能通過最高點，根據機械能守恒定律求解出最高點速度；然后求解出恰好到最高點的速度；比較兩個速度的大小即可．

解答 解：（1）設小球m₁的速度為v₁，m₂的速度為v₂，兩個小球與彈簧組成的系統，水平方向合外力為零，且只有彈力做功，取向左為正方向，由動量守恒定律，有：
   m₁v₁-m₂v₂=0   ①
由機械能守恒定律，有；
   E_p=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²     ②
聯立①②并代入數據解得：v₁=3m/s，向左．
v₂=12m/s，向右
（2）小球2向右運動，設其能到達圓周最高點D，由機械能守恒，有：
   $\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$=m₂g•2R+$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{D}^{2}$
代入數據解得：v_D=$\sqrt{104}$m/s
又小球能通過豎直面內光滑圓周最高點的條件為：
   mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入數據解得：v=4m/s
由于v＜v_D，故小球2能通過最高點．
答：
（1）兩小球脫離彈簧瞬間的速度分別為：3m/s向左、12m/s向右；
（2）小球2第一次沿軌道上滑過程中能到達D點．

點評 本題的關鍵是明確彈簧釋放過程遵守動量守恒定律和機械能守恒定律，同時明確小球恰好到最高點的臨界條件：重力等于向心力．