Question

18．總質量為m的一顆返回式人造地球衛星沿半徑為R的圓軌道繞地球運動到P點時，接到地面指揮中心返回地面的指令，于是立即打開制動火箭向原來運動方向噴出燃氣以降低速度并轉到跟地球相切的橢圓軌道，如圖所示．已知地球半徑為R₀，地面重力加速度為g，要使衛星對地速度降為原來的$\frac{8}{9}$，并將連續噴氣等效為一次性噴氣，衛星在P處應將質量為△m的燃氣對地向前噴出速度為（　　）

• A． $\frac{m+8△m}{9△m}$•$\sqrt{\frac{{{gR}_{0}}^{2}}{R}}$
• B． $\frac{m+8△m}{9△m}$$•\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{{R}_{0}}}$
• C． $\frac{m+9△m}{8△m}$$•\sqrt{\frac{{{gR}_{0}}^{2}}{R}}$
• D． $\frac{m+9△m}{8△m}$$•\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{{R}_{0}}}$

Answer 1

分析 先根據萬有引力等于向心力，以及萬有引力等于重力，求出衛星原來的速度，再由動量守恒定律求解燃氣對地向前噴出的速度．

解答 解：對地面上的物體，根據重力等于萬有引力，得：mg=G$\frac{Mm}{{R}_{0}^{2}}$…①
設衛星原來的線速度大小為v．由萬有引力提供向心力，則得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…②
由①②兩式，可得：v=$\sqrt{\frac{g{R}_{0}^{2}}{R}}$…③
取衛星原來的速度方向為正方向，由動量守恒定律得：
    mv=（m-△m）•$\frac{8}{9}$v+△mv′④
由③④解得：v′=$\frac{m+8△m}{9△m}$•$\sqrt{\frac{{{gR}_{0}}^{2}}{R}}$
故選：A

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力，以及萬有引力等于重力進行列式求解衛星的速度．