Question

3．已知某服裝廠每天的固定成本是30000元，每天最大規模的生產量是m件．每生產一件服裝，成本增加100元，生產x件服裝的收入函數是R（x）=-$\frac{1}{3}$x²+400x，記L（x），P（x）分別為每天生產x件服裝的利潤和 平均利潤（平均利潤=$\frac{總利潤}{總產量}$）．
（1）當m=500時，每天生產量x為多少時，利潤L（x）有最大值；
（2）每天生產量x為多少時，平均利潤P（x）有最大值，并求P（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據利潤=銷售收入-成本，結合銷售收入函數，利用配方法，即可得出結論；
（2）求出平均利潤P（x），利用導數知識，確定函數的單調性，即可求出最大值．

解答 解：（1）依題意得利潤L（x）=-$\frac{1}{3}$x²+400x-100x-30000=-$\frac{1}{3}$x²+300x-30000，x∈（0，500]，…（2分）
∴L（x）=-$\frac{1}{3}$（x-450）²+37500，x∈（0，500]，…（4分）
∵x∈（0，500]，∴當x=450時，L（x）有最大值…（5分）
（2）依題意得P（x）=-$\frac{1}{3}$（x+$\frac{90000}{x}$）+300，0＜x≤m…（7分）
P′（x）=-$\frac{{x}^{2}-90000}{3{x}^{2}}$，0＜x≤m…（8分）
當x∈（0，300）時，P'（x）＞0，P（x）在（0，300）遞增，
當x∈（300，+∞）時，P'（x）＜0，P（x）在（300，+∞）遞遞減，…（10分）
所以當0＜m＜300時，x=m時，P（x）取得最大值為（300-$\frac{m}{3}$-$\frac{30000}{m}$）元；當m≥300時，x=300時，P（x）取得最大值為100元…（12分）

點評 本題考查函數模型的構建，考查函數的最值，解題的關鍵是正確構建函數，利用導數知識求解．