Question

18．如圖所示，傳送帶與地面夾角θ=37°，從A到B長度為L=15.2m，傳送帶以9.2m/s的速度逆時針轉動．在傳送帶上端A無初速度地放一個質量為0.5kg的物體，它與傳送帶之間的動摩擦因數為0.4．求：
（1）物體從A運動到B所需要的時間；
（2）從A運動到B過程中，物體相對傳送帶運動的路程；
（3）若物體相對傳送帶滑動時會在傳送帶上留下痕跡，則物體從A運動到B過程中，在傳送帶上留下痕跡的長度．

Answer 1

分析 （1）物體在傳送帶上受到重力、支持力和摩擦力作用先做初速度為0的勻加速直線運動，當速度和傳送帶速度一樣時進行判斷物體跟隨傳送帶勻速還是單獨做勻變速直線運動，根據總位移為15.2m，可以求出整個運動過程的時間t；
（2）第一階段炭塊的速度小于皮帶速度，物體相對皮帶向上移動；第二階段，物體的速度大于皮帶速度，物體相對皮帶向下移動；根據運動學公式求解相對位移．
（3）傳送帶上留下痕跡的長度即為二者間的相對位移．

解答 解
（1）開始階段物體加速度為a₁，mgsinθ+μmgcosθ=ma₁
a₁=9.2m/s²
物體加速到與傳送帶速度相等需要的時間t₁，v=a₁t₁
t₁=1s
t₁時間內物體位移為 x₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=$\frac{1}{2}$×9.2×1=4.6 m
由于 μ＜tanθ，物體還要繼續做加速運動，加速度為a₂
mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
a₂=2.8 m/s²
設后一段物體滑至底端所用時間為t₂
L-x₁=vt₂+$\frac{1}{2}$a₂t₂²
解得：t₂=1s
故總時間t=t₁+t₂=1+1=2s；
（2）t₁時間內，傳送帶向下運動x₁′=vt₁=9.2×1=9.2m
物體相對傳送帶運動的路程為s₁=4.6m
t₂時間內，物體向下運動 L-x₁=15.2-4.6=10.6m
傳送帶向下運動x₂′=vt₂=9.2×1=9.2m
物體相對傳送帶運動的路程為s₂=1.4m
從A運動到B過程中，物體相對傳送帶運動的路程為
s=s₁+s₂=6m
（3）在t₁時間內物體相對傳送帶向上運動4.6m，在t₂時間內物體相對傳送帶向下運動1.4m，
開始物塊相對傳送帶向上滑動，速度相等以后物塊相對傳送帶向下滑動，因此后來的劃痕與前面的劃痕重合，所以物體在傳送帶上留下的痕跡為x=4.6m；
答：（1）物體從A運動到B所需要的時間為2s；
（2）從A運動到B過程中，物體相對傳送帶運動的路程為6m；
（3）若物體相對傳送帶滑動時會在傳送帶上留下痕跡，則物體從A運動到B過程中，在傳送帶上留下痕跡的長度為4.6m

點評 從此類題目可以總結出，皮帶傳送物體所受摩擦力可能發生突變，不論是其大小的突變，還是其方向的突變，都發生在物體的速度與傳送帶速度相等的時刻．要理清物體的運動規律，結合運動學公式和牛頓第二定律進行求解．