Question

5．如圖，在豎直平面內有由$\frac{1}{4}$$\widehat{AB}$和$\frac{1}{2}$$\widehat{BC}$組成的光滑固定軌道，兩者在最低點B平滑連接．$\widehat{AB}$的半徑為R，$\widehat{BC}$的半徑為$\frac{R}{2}$．一小球在A點正上方與A相距$\frac{R}{4}$處由靜止開始自由下落，經A點沿圓弧軌道運動．求：
（1）小球在B、A兩點的速度大小之比；
（2）小球運動到C點時對軌道的壓力．

Answer 1

分析 （1）根據機械能守恒定律分別求出小球經過B點和A點的速度大小，再得到它們的比值．
（2）由機械能守恒定律求出小球到達C點的速度．在C點，由合力提供向心力，由牛頓定律求解即可．

解答 解：（1）根據機械能守恒定律，
從下落到A點的過程，有：$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=mg$\frac{R}{4}$，得：v_A=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
從下落到B點的過程，有：$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=mg（R+$\frac{R}{4}$），得：v_B=$\sqrt{\frac{5}{2}gR}$
則得小球在B、A兩點的速度之比 v_B：v_A=$\sqrt{5}$：1．
（2）從下落到C的過程，由機械能守恒定律得：
mg$\frac{R}{4}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$，
得：v_C=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
在C點，由牛頓第二定律得：N+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{\frac{R}{2}}$
解得：N=0
由牛頓第三定律知，小球運動到C點時對軌道的壓力為0．
答：（1）小球在B、A兩點的速度之比為$\sqrt{5}$：1．
（2）小球運動到C點時對軌道的壓力為0．

點評 分析清楚小球的運動過程，抓住軌道光滑時往往小球的機械能守恒，要把握圓周運動向心力的來源：指向圓心的合力．