Question

2．一圓環A套在一均勻圓木棒B上，A的高度相對B的長度來說可以忽略不計，A和B的質量都等于m，A和B之間的滑動摩擦力為f（f＜mg）．開始時B豎直放置，下端離地面高度為h，A在B的頂端，如圖所示，讓它們由靜止開始一起自由下落，當木棒與地面相碰后，木棒以豎直向上的速度反向運動，并且碰撞前后的速度大小相等．設碰撞時間很短，不考慮空氣阻力，問：
①木棒剛落到地板瞬間的速度大小為多少？
②若在B再次著地前，A不脫離B，則B與地面碰撞后向上運動到再次落回地面所需時間為多少？
③在B再次著地前，要使A不脫離B，B至少多長？

Answer 1

分析 ①木棒做自由落體運動，由自由落體運動的速度位移公式可以求出落地速度．
②根據牛頓第二定律求出木棒彈起豎直上升過程中木棒和環的加速度，環在木棒上升及下落的全過程中一直處于加速運動狀態，所以木棒從向上彈起到再次著地的過程中，棒與環的加速度均保持不變，應用勻變速直線運動的速度公式求出運動時間．
③勻變速直線運動的運動學公式求出這段時間內環運動的位移即可棒的最小長度．

解答 解：①木棒做自由落體運動，由速度位移公式得，落地速度：v₀=$\sqrt{2gh}$；
②木棒彈起豎直上升過程中，根據牛頓第二定律，
對木棒：f+mg=ma₁，解得：a₁=$\frac{mg+f}{m}$，方向：豎直向下，
對環：mg-f=ma₂，解得：a₂=$\frac{mg-f}{m}$，方向豎直向下，
環在木棒上升及下落的全過程中一直處于加速運動狀態，
所以木棒從向上彈起到再次著地的過程中，棒與環的加速度均保持不變，木棒反彈后再落地需要的時間為：
t=$\frac{2{v}_{0}}{{a}_{1}}$=$\frac{2m{v}_{0}}{mg+f}$；
③木棒與地面碰撞后再次落回地面過程中，環運動的位移為：
x=v₀t+$\frac{1}{2}$a₂t²，
要使環不碰地面，則要求木棒的長度不小于x，即L≥x，
解得：L≥$\frac{8{m}^{2}{g}^{2}h}{（mg+f）^{2}}$；
答：①木棒剛落到地板瞬間的速度大小為$\sqrt{2gh}$；
②若在B再次著地前，A不脫離B，則B與地面碰撞后向上運動到再次落回地面所需時間為$\frac{2m{v}_{0}}{mg+f}$；
③在B再次著地前，要使A不脫離B，B的長度至少為$\frac{8{m}^{2}{g}^{2}h}{（mg+f）^{2}}$．

點評 本題主要考查了牛頓第二定律以及運動學基本公式的直接應用，要求同學們能正確分析棒和環的運動情況，知道棒和環的運動時間相等，再抓住位移關系求解，難度適中．