Question

17．如圖所示，處于勻強磁場中的兩根足夠長、電阻不計的平行金屬導軌相距L=1m，金屬導軌光滑，導軌平面與水平面成θ=37°角，下端連接阻值為R=2Ω的電阻．勻強磁場方向垂直于導軌平面向上，磁感應強度為B=0.4T．質量為0.2kg，電阻不計的金屬棒放在兩導軌上，棒與導軌垂直且保持良好接觸．（取g=10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）．求：
（1）金屬棒下滑的最大速度；
（2）當金屬棒下滑速度達到穩定時電阻消耗的功率；
（3）當金屬棒的速度達到10m/s時的加速度．

Answer 1

分析 （1）金屬棒ab先加速下滑，所受的安培力增大，加速度減小，后來棒勻速下滑，速度達到最大．由閉合電路歐姆定律、感應電動勢和安培力公式推導出安培力的表達式，根據平衡條件求解最大速度．
（2）當金屬棒下滑速度達到穩定時電阻消耗的功率等于重力的功率．
（3）根據牛頓第二定律和安培力與速度的關系式結合求解加速度．

解答 解：（1）當金屬棒勻速下滑時速度最大，設最大速度為v_m．根據平衡條件得：
 BIL=mgsinθ
又 $I=\frac{E}{R}$
且 E=BLv_m
解得：v_m=$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{0.2×10×2×sin37°}{0．{4}^{2}×{1}^{2}}$=15m/s    
（2）金屬棒勻速下滑，由能量守恒可得電阻消耗的功率為：
P=mgsinθ•v_m=0.2×10×sin37°×15W=18W   
（3）當v=10m/s時，產生感應電動勢為：E′=BLv=4V，
此時的感應電流為：$I'=\frac{E'}{R}$=2A，
由牛頓第二定律得：mgsinθ-BI′L=ma，
代入數據解得：a=2m/s²    
答：（1）金屬棒下滑的最大速度是15m/s；
（2）當金屬棒下滑速度達到穩定時電阻消耗的功率是18W；
（3）當金屬棒的速度達到10m/s時的加速度是2m/s²．

點評 解決本題的關鍵要明確金屬棒的運動情況，正確分析能量是如何轉化的，要注意若金屬棒也有電阻，金屬棒下滑速度達到穩定時重力的功率等于整個回路的電功率．