Question

7．如圖所示，繃緊的傳送帶與水平面的夾角θ=37°，總長度L=6m，傳送帶在電動機的帶動下，始終保持v₀=2m/s速率運行，現把一質量為0.5kg的工件（可看作為質點）輕輕放在皮帶的底端，工件與傳送帶之間的動摩擦因數μ=0.8，取g=10m/s²．求：
（1）工件從底端運送到頂端的時間；
（2）工件在傳送帶上留下的痕跡多長？

Answer 1

分析 （1）分析工件的受力情況，物體受到重力、支持力、和沿斜面向上的摩擦力作用，合力沿斜面向上，物體加速運動，由牛頓第二定律求出加速度．由速度公式求出速度達到與傳送帶相同的時間．
（2）求出工件在傳輸帶上滑動的時間，求出該時間內傳送帶與工件的位移，然后求出傳送帶上痕跡的長度．

解答 解：（1）剛開始物塊相對傳送帶向下運動，受到沿斜面向上的滑動摩擦力，向上做勻加速直線運動，根據牛頓第二定律有：
μmgcos37°-mgsin37°=ma₁
解得：${a}_{1}^{\;}=μgcos37°-gsin37°=2.4m/{s}_{\;}^{2}$
設經過時間t₁速度相等，有：${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}=\frac{2}{2.4}=\frac{5}{6}s$
勻加速運動的位移為：${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×2.4×（\frac{5}{6}）_{\;}^{2}=\frac{5}{6}m$
速度相等后，向上做勻速運動，有：${x}_{2}^{\;}=L-{x}_{1}^{\;}=6-\frac{5}{6}=\frac{31}{6}m$
勻速運動的時間為：${t}_{2}^{\;}=\frac{{x}_{2}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{31}{12}s$
總時間為：$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=\frac{41}{12}m$
（2）在勻加速運動的過程中，有：${x}_{傳}^{\;}={v}_{0}^{\;}{t}_{1}^{\;}=2×\frac{5}{6}=\frac{5}{3}m$
工件相對于傳送帶的位移為：$△x={x}_{傳}^{\;}-{x}_{1}^{\;}=\frac{5}{6}m$
答：（1）工件從底端運送到頂端的時間為$\frac{41}{12}s$；
（2）工件在傳送帶上留下的痕跡為$\frac{5}{6}m$

點評 本題考查了牛頓第二定律與運動學公式的應用，根據摩擦力與重力分力的關系分析清楚工件的運動性質，分析清楚工件的運動過程是正確解題的前提與關鍵，也是本題的難點