Question

3．如圖所示，一長為L的輕桿，其左端與右端分別固定著質量都是m的A、B兩小球，桿可繞離左端$\frac{1}{4}$處的水平軸O無摩擦轉動．開始時，將桿拉至水平狀態．求桿由靜止釋放至A球轉至最高點的過程中：
（1）A球轉至最高點時的角速度．
（2）A球轉至最高點時A球和B球的線速度的大小．
（3）A球從由靜止釋放轉至最高點的過程機械能的變化量．
（4）A球轉至最高點時A球對桿的作用力．
（5）A球轉至最高點時水平軸O受到的作用力．

Answer 1

分析 （1）因A、B兩球共軸轉動，故兩球轉動的角速度相等，對A、B兩球組成的系統應用機械能守恒定律，結合速度關系即可求得A球轉至最高點時的角速度．
（2）由公式v=ωr求A球和B球的線速度．
（3）A球從由靜止釋放轉至最高點的過程，根據動能的變化和重力勢能的變化量求機械能的變化量．
（4）A球轉至最高點時，對A球，運用牛頓第二定律求出桿A球的作用力，再得到A球對桿的作用力．
（5）同理可求得B球對桿的作用力，從而得到水平軸O受到的作用力．

解答 解：（1）以B在最低點為零勢能面，由系統機械能守恒得：
   2mgL=mgL+$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
又有 v_A=ω•$\frac{L}{4}$，v_B=ω•$\frac{3L}{4}$
聯立解得：ω=$\frac{2}{5}\sqrt{\frac{10g}{L}}$
（2）由1中得 v_A=$\frac{1}{10}$$\sqrt{10gL}$，v_B=$\frac{3}{10}\sqrt{10gL}$
（3）A球從由靜止釋放轉至最高點的過程機械能的變化量為：
△E=△E_k+△E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+mg$\frac{L}{4}$=$\frac{3}{10}$mgL
（4）設桿對A球作用力為豎直向下的拉力N₁．
根據牛頓第二定律得：
   N₁+mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{\frac{L}{4}}$
結合v_A=$\frac{1}{10}$$\sqrt{10gL}$，解得 N₁=-$\frac{3}{5}$mg
所以桿對小球A作用力為豎直向上的支持力，大小為$\frac{3}{5}$mg．
（5）設桿對B球向上的拉力為N₂．
根據牛頓第二定律得：
   N₂-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{\frac{L}{4}}$
結合v_B=$\frac{3}{10}\sqrt{10gL}$，解得 N₂=$\frac{11}{5}$mg
所以桿對小球B作用力為豎直向上的拉力，大小為$\frac{11}{5}$mg．
所以O點受到作用力 F=N₁+N₂=$\frac{14}{5}$mg
答：
（1）A球轉至最高點時的角速度是$\frac{2}{5}\sqrt{\frac{10g}{L}}$．
（2）A球轉至最高點時A球和B球的線速度的大小分別為$\frac{1}{10}$$\sqrt{10gL}$和$\frac{3}{10}\sqrt{10gL}$．
（3）A球從由靜止釋放轉至最高點的過程機械能的變化量是$\frac{3}{10}$mgL．
（4）A球轉至最高點時A球對桿的作用力是$\frac{3}{5}$mg．
（5）A球轉至最高點時水平軸O受到的作用力是$\frac{14}{5}$mg．

點評 本題要明確A、B球機械能均不守恒，但A與B組成的系統機械能守恒，轉動過程兩個球的角速度相等，在最低點和最高點時，均由合力提供向心力．