Question

6．某行星外圍有一圈厚度為d的發光帶（發光的物質），簡化為如圖1所示模型，R為該行星除發光帶以外的半徑；現不知發光帶是該行星的組成部分還是環繞該行星的衛星群，科學家做了精確地觀測發現發光帶繞行星中心的運行速度與到行星中心的距離r的關系如圖2所示（圖中所標v₀為已知），則下列說法正確的是（　　）

• A． 發光帶是該行星的組成部分
• B． 該行星的質量M=$\frac{{v}_{0}^{2}R}{G}$
• C． 行星表面的重力加速度g=$\frac{{v}_{0}^{2}}{R+d}$
• D． 該行星的平均密度為ρ=$\frac{3{v}_{0}^{2}R}{4πg（R+d）^{3}}$

Answer 1

分析 若光帶是該行星的組成部分，則其角速度與行星自轉角速度相同．若光帶是環繞該行星的衛星群，由萬有引力提供向心力，由此列式分析．

解答 解：A、若光帶是該行星的組成部分，則其角速度與行星自轉角速度相同，應有v=ωr，v與r應成正比，與圖不符，因此該光帶不是該行星的組成部分，故A錯誤；
B、光帶是環繞該行星的衛星群，由萬有引力提供向心力，則有：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
得該行星的質量為：$M=\frac{{v}_{\;}^{2}r}{G}$
由圖知，r=R時，$v={v}_{0}^{\;}$，則有：$M=\frac{{v}_{0}^{2}R}{G}$，故B正確；
C、當r=R時有，$mg=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，得行星表面的重力加速度$g=\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，故C錯誤；
D、該行星的平均密度$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}}=\frac{3{v}_{0}^{2}}{4πGR}$，故D錯誤；
故選：B

點評 本題運用試探法分析，關鍵要知道若光帶是該行星的組成部分時，其角速度與行星自轉角速度相同，光帶是環繞該行星的衛星群時，由萬有引力提供向心力．