Question

14．如圖所示，在一對以板長為2a、板間距離為$\frac{2}{3}$a的平行板圍成的矩形EFQP區域內有垂直于紙面向外的勻強磁場．現有一質量為m、電量為q的帶正電粒子（不計重力）從靜止開始經過電勢差為U的電場加速后，從EF邊的中點小孔D處垂直于EF邊進入磁場．
（1）若粒子的軌道半徑為$\frac{a}{2}$，求磁場的磁感應強度B的大小；
（2）若改變磁感應強度的大小，使粒子恰好未碰PQ板，求粒子在磁場中運動的時間；
（3）若再次改變磁感應強度的大小，使粒子與ED板多次碰撞后剛好擊中板端E點，求粒子在磁場中運動的極限時間．（不計粒子與ED板碰撞的作用時間．設粒子與ED板碰撞前后，電量保持不變并以相同的速率反彈．）

Answer 1

分析 （1）粒子進入磁場后由洛侖茲力提供向心力，通過動能定理即圓周運動向心力公式即可求出B；
（2）通過對題目的分析作出粒子運動的軌跡圖，根據數學知識可得到其運動的軌跡半徑，通過周期公式及幾何關系即可求出粒子在磁場中運動的時間；
（3）設粒子運動圓周半徑為r，經過n次碰撞，即經過n個半圓運動，最后一次打到E點，已知其運動的周期，就可以求出粒子在磁場中運動時間，就可以判斷時間與碰撞次數有無關系．

解答 解：（1）設粒子經電場加速后獲得速度為v，由動能定理有：qU=$\frac{1}{2}mv_{\;}$²-0
粒子在磁場中做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律有：qvB=m$\frac{v^2}{{\frac{a}{2}}}$
解得：B=$\frac{2}{a}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
（2）若粒子恰好未碰PQ板，其軌跡如圖所示，

由圖中的幾何關系有：r=$\frac{2a}{3}$ sinθ=$\frac{a-r}{r}=\frac{1}{2}$
故有：θ=30°
粒子在磁場中運動的時間為：t=$\frac{{{{120}°}}}{{{{360}°}}}$T
T=$\frac{2πr}{v}$
解得：t=$\frac{4πa}{9}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$
（3）設粒子經過n個半圓運動后打到E點，其半徑為r₁，周期T₁，極限時間為t_m，有：2r₁•n=a
T₁=$\frac{{2π{r_1}}}{v}$
t_m=n$\frac{T_1}{2}$
解得：t_m=$\frac{πa}{2}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$
答：（1）若粒子的軌道半徑為a，磁場的磁感應強度B的大小為$\frac{2}{a}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（2）若改變磁感應強度的大小，使粒子恰好未碰PQ板，求粒子在磁場中運動的時間為$\frac{4πa}{9}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$；
（3）若再次改變磁感應強度的大小，使粒子與ED板多次碰撞后剛好擊中板端E點，粒子在磁場中運動的時間為$\frac{πa}{2}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$

點評 該題是帶電粒子在磁場中運動的題型，要求同學們能畫出粒子運動的軌跡并結合數學知識解題，還要注意粒子運動的周期性，難度較大．