Question

8．如圖所示，傾角為30^o的光滑斜面AB長L₁=0.4m，B端距水平地面h=0.8m，O在B點的正下方，B點右端接一光滑小圓弧（圖上未畫出），圓弧右端切線水平，且與一長L₂=1.0m的水平木板MN平滑連接．小滑塊從A端由靜止釋放后運動到N端恰好停止．
（1）求滑塊到達B點速度v_B的大小；
（2）求滑塊與木板MN之間的動摩擦因數μ；
（3）若將木板右側截去長為△L的一段，滑塊從A端由靜止釋放后將滑離木板，落在水平地面上某點P（圖中未標出）．求落地點P距O點的距離范圍．

Answer 1

分析 （1）滑塊在斜面上做勻加速運動，由牛頓第二定律求得加速度，再由速度位移公式求滑塊到達B點速度v_B的大小；或根據機械能守恒定律列式求解B點速度．
（2）滑塊從M到N過程中，滑動摩擦力對滑塊做負功，根據動能定理求出木板與滑塊的動摩擦因數；
（3）若將木板右端截去長為△L的一段，根據動能定理求出滑塊滑到木板右端的速度，由平拋運動知識得出落地點P距O點的距離與△L的關系，由數學知識求出此距離的范圍．

解答 解：（1）滑塊在斜面上做勻加速運動，根據機械能守恒定律得：
mgL₁sin30°=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$            
代入數據解得：v_B=2m/s
（2）滑塊在水平面上做勻減速運動，滑塊從M運動到N過程中所受的摩擦力大小為：f=μN=μmg
根據動能定理得：-fL₂=0-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$ 
代入數據解得：μ=0.2
（3）解法一：
設木板右側截取長度為△L后，則滑塊離開木板后做平拋運動，設平拋的初速度為v₀，則：
  ${v}_{0}^{2}-{v}_{B}^{2}$=-2a₂（L₂-△L）
得 v₀=$\sqrt{{v}_{B}^{2}-2{a}_{2}（{L}_{2}-△L）}$
又 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=v₀t=$\sqrt{[{v}_{B}^{2}-2{a}_{2}（{L}_{2}-△L）\frac{2h}{g}}$
代入數據得：x=0.8$\sqrt{△L}$
落地點P距O點的距離 S=L₂-△L+x=L₂-△L+0.8$\sqrt{△L}$    
$\sqrt{△L}$的取值范圍為（0，1]，由拋物線圖象或二次函數極值求解可得  
當$\sqrt{△L}$=0.4時，即△L=0.16m時，S有最大值為：S_max=1.16m     
當$\sqrt{△L}$=1時，即△L=1m時，S有最小值為：S_min=0.8m
所以 0.8m≤S≤1.16m
解法二：設木板右側截取長度為△L后，則滑塊離開木板后做平拋運動，設平拋的初速度為v₀，由逆向思維，有：
${v}_{0}^{2}$=2μg△L
再做平拋運動，有：
S=L₂-△L+v₀t=L₂-△L+0.8$\sqrt{△L}$
$\sqrt{△L}$的取值范圍為（0，1]，由拋物線圖象或二次函數極值求解可得      
當$\sqrt{△L}$=0.4時，即△L=0.16m時，S有最大值為：S_max=1.16m
當$\sqrt{△L}$=1時，即△L=1m時，S有最小值為：S_min=0.8m 
解得：0.8m≤S≤1.16m
答：（1）滑塊到達B點速度v_B的大小是2m/s．
（2）滑塊與木板MN之間的動摩擦因數μ是0.2．
（3）落地點P距O點的距離范圍為0.8m≤S≤1.16m．

點評 此題前兩問是常規題，是機械能守恒和動能定理綜合．第（3）問，運用數學知識列式，求解物理極值，是常用的函數法．