Question

7．如圖甲所示，寬為L，傾角為θ的平行金屬導軌，下端垂直于導軌連接一阻值為R的定值電阻，導軌之間加垂直于軌道平面的磁場，其隨時間變化規律如圖乙所示．t=0時刻磁感應強度為B₀，此時，在導軌上距電阻x₁．處放一質量為m，電阻為2R的金屬桿，t₁時刻前金屬桿處于靜止狀態，當磁場即將減小到B₁時，金屬桿也即將開始下滑（金屬桿所受的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）．

（1）求0-t₁時間內通過定值電阻的電荷量；
（2）求金屬桿與導軌間的最大靜摩擦力；
（3）若金屬桿沿導軌下滑x₂后開始做勻速運動，求金屬桿下滑x₂過程中，電阻R產生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）根據法拉第電磁感應定律求出感應電動勢，由閉合電路的歐姆定律得出感應電流，從而求出電荷量；
（2）根據受力平衡求出金屬桿與導軌間的最大靜摩擦力；
（3）金屬桿達到最大速度時，加速度等于零，受力平衡，即此時感應電流與$0-{t}_{1}^{\;}$時間內感應電流大小相等，感應電動勢也相等．由開始運動到最大速度過程，根據能量守恒列式，從而求出整個電路產生的焦耳熱，從而求出電阻R上的焦耳熱．

解答 解：（1）感應電動勢：$E=\frac{△φ}{△t}$=$\frac{L{x}_{1}^{\;}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）}{{t}_{1}^{\;}}$
感應電流$I=\frac{E}{3R}$
通過定值電阻的電荷量$q=I•△t=I•{t}_{1}^{\;}$
即$q=\frac{（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）L{x}_{1}^{\;}}{3R}$
（2）在${t}_{1}^{\;}$時刻，對桿有：
$mgsinθ-{f}_{m}^{\;}-{F}_{安}^{\;}=0$
其中${F}_{安}^{\;}={B}_{1}^{\;}IL$
聯立可得：${f}_{m}^{\;}=mgsinθ-\frac{{B}_{1}^{\;}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）{L}_{\;}^{2}{x}_{1}^{\;}}{3R{t}_{1}^{\;}}$
（3）當金屬桿達到最大速度時
$mgsinθ-{f}_{m}^{\;}-{F}_{安}^{′}=0$
即此時感應電流與$0-{t}_{1}^{\;}$時間內感應電流大小相等，感應電動勢也相等．
所以${B}_{1}^{\;}Lv=\frac{L{x}_{1}^{\;}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）}{{t}_{1}^{\;}}$
從開始到達到最大速度過程
$mg{x}_{2}^{\;}sinθ={Q}_{焦}^{\;}+{Q}_{滑}^{\;}+\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
其中${Q}_{滑}^{\;}={f}_{m}^{\;}{x}_{2}^{\;}$
電阻R上產生的焦耳熱
${Q}_{R}^{\;}=\frac{1}{3}{Q}_{焦}^{\;}$
解得：${Q}_{R}^{\;}=\frac{{B}_{1}^{\;}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）{L}_{\;}^{2}{x}_{1}^{\;}{x}_{2}^{\;}}{9R{t}_{1}^{\;}}$$-\frac{m{x}_{1}^{2}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}{6{B}_{1}^{2}{t}_{1}^{2}}$
答：（1）0-t₁時間內通過定值電阻的電荷量$\frac{（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）L{x}_{1}^{\;}}{3R}$；
（2）金屬桿與導軌間的最大靜摩擦力$mgsinθ-\frac{{B}_{1}^{\;}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）{L}_{\;}^{2}{x}_{1}^{\;}}{3R{t}_{1}^{\;}}$；
（3）若金屬桿沿導軌下滑x₂后開始做勻速運動，金屬桿下滑x₂過程中，電阻R產生的焦耳熱為$\frac{{B}_{1}^{\;}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）{L}_{\;}^{2}{x}_{1}^{\;}{x}_{2}^{\;}}{9R{t}_{1}^{\;}}-$$\frac{m{x}_{1}^{2}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}{6{B}_{1}^{2}{t}_{1}^{2}}$．

點評 此題綜合考查了法拉第電磁感應定律以及能量守恒定律的應用；解題時要認真分析物理過程，結合題目所給的B-t圖象求解電動勢，搞清物體在運動過程中的能量轉化關系．