Question

11．1871年，人們發現了太陽系中的第七顆行星-天王星，但是，它的運動軌跡有些“古怪”：根據萬有引力定律計算出來的軌道與實際觀測的結果總有一些偏差；英國劍橋大學的學生亞當斯和法國年輕的天文學家雷維耶相信在天王星軌道外面還存在一顆未發現的行星；他們根據天王星的觀測資料，各自獨立地利用萬有引力定律計算出這顆“新”行星的軌道，后來這顆行星被命名為“海王星”；設天王星和海王星各自繞太陽做勻速圓周運動，兩行星的軌道平面共面，它們繞行的方向相同；設從兩行星離得最近時開始計時，到下一次兩行星離得最近所經歷的最短時間為t；設天王星的軌道半徑為R，周期為T；假設忽略各行星之間的萬有引力，那么海王星的軌道半徑為（　　）

• A． $\root{3}{\frac{{t}^{2}}{t-T}}$R
• B． $\root{3}{（\frac{t-T}{t}）^{2}}$R
• C． $\root{3}{（\frac{t}{t-T}）^{2}}$R
• D． $\frac{t}{t-T}$R

Answer 1

分析 天王星、海王星相距最近時，海王星對天王星的影響最大，且每隔時間t發生一次最大的偏離，先根據多轉動一圈時間為t，求出海王星的周期；然后再根據開普勒第三定律解得軌道半徑．

解答 解：由題意可知：海王星與天王星相距最近時，對天王星的影響最大，且每隔時間t發生一次最大的偏離．
設海王星行星的周期為T₀，圓軌道半徑為R₀，則有：（ $\frac{2π}{T}$-$\frac{2π}{{T}_{0}^{\;}}$）t=2π
解得：T₀=$\frac{tT}{t-T}$
據開普勒第三定律：$\frac{{R}_{0}^{3}}{{R}_{\;}^{3}}=\frac{{T}_{0}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}$
得：R₀=$\root{3}{（\frac{t}{t-T}）_{\;}^{2}}R$
故C正確，ABD錯誤．
故選：C

點評 本題關鍵抓住兩行星發生最大偏離的條件是轉動角度相差2π，進行列式，并要掌握開普勒第三定律研究周期和軌道半徑的關系．